Equação linear

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Equação linear São equações lineares: c) 5x.. 4y=O d) 3a + 4b-5c=6 Não são equações lin a) x +4y – 3zv1 – O (pr b) 1/x+4/y-z=3 (0 or6 uta s) c) 3a -4b [picl 3 (o expoente da variável cé 1/2) SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR: Uma equação linear admite infinitas soluções. Exemplo: Seja a equação linear x -2y = 4. Esta equação admite . ; e infinitos outros como solução os pares: (6,1); (0,-2); (4,0), que obedeçam a relação: x = 4 + 2y.

Portanto a cada novo valor atribuído a y temos o correspondente x. A solução que representa as infinitas soluções pode ser representada da forma: S = {(4 + 2y; y)}. Y é dito, neste caso variável livre. equação linear se todos os elementos desse conjunto forem iguais às incógnitas da equação e ao substituirmos os elementos desse conjunto nas incógn’tas da equação linear a igualdade al xl + a2x2 +a3x3 + + anxn = b deve ser verdadeira. Veja um exemplo de quando um conjunto é solução de uma equação linear.

Exemplo: Dado o conjunto solução (O, 1, 2) e a equação linear -2x + y + Sz — 1 1, para verificar se é verdadeira essa solução deve-se substituir os valores 0, 1 e 10 nas suas respectivas incógnitas. 2. 0+1+5. 2=11 10-11 11 = 11, como a igualdade é verdadeira, podemos concluir que o conjunto solução (O, 1, IO) é solução da equação -2x + y + Sz 11 Notações importantes sobre a equação linear: • Quando os coeficientes das incógnitas forem todos iguais a zero e o valor numérico da equação for diferente de zero, essa equação não terá solução. ?? Quando os coeficientes das incógnitas forem todos iguais a zero e o valor numérico da equação for igual a zero, essa equação irá assumir qualquer valor real no seu conjunto solução. Calcule para que valor de m a quadrada ordenada (1 é solução da equação 3x + Sy – mz+t=0 Devemos substituir os valores do conjunto solução nas incógnitas da equação: 3. 1 5. 2 -m. 5-0 3+10+3Tl+5=o . 2 -m. -3)+5-0 13+3m+5=O 3m+18=o srn=-18 m = -18:3 Portanto, para que o conjunto solução (1 seja solução da equação, m deverá assumir valor igual a -6. I . SISTEMAS DE EQUAÇOES LINEARES: 1) equações lineares, nas incógn tas o conjunto de m (m 1, x2, OBS: Todo sistema linear pode ser escrito na forma matricial. Portanto as operações elementares sobre linhas das matrizes, erão utilizadas para a resolução de sistemas lineares. EXEMPLO: Seja o sistema linear: [picl FORMA MATRICIAL: [PiC]. PiC] = [PiC] MATRIZ INCOMPLETA: [PiC] MATRIZ COMPLETA (ou Matriz Ampliada): Onde a primeira coluna é formada pelos coeficientes da variável x, a segunda coluna pelos coeficientes da variável y; a terceira pelos coeficientes da variável z e a uarta coluna são os termos independentes. equações e n incógnitas admite solução se, e somente se o posto da matriz ampliada é Igual ao posto da matriz dos coeficientes. 2. Se duas matrizes têm o mesmo posto p e p = n, a solução será única. 3.

Se as duas matrizes têm o mesmo posto e p < n, podemos escolher n-p incógnitas, e as outras p incógnitas serão dadas em função destas. (Diz-se que o grau de liberdade do sistema é n - p) OBS: Denotaremos pc = posto da matriz dos coeficientes (incompleta) e pa posto da matriz ampliada. MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES: Quando queremos resolver um sistema linear pelo método de Gauss, do escalonamento, podemos trabalhar com a matriz completa do sistema, realizando sobre as linhas as operações, adas abaixo, que faríamos sobre as equações do sistema.

OPERAÇÕES: 1. Permuta de linhas; (li 2. Multiplicar uma linha por um número real não nulo; (kli) 3. Somar a uma linha uma outra linha da matriz previamente multiplicada por um número real. (li kl(j + li) REGRA DE CRAMER (PARA RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES) 1. Só pode ser utilizado se o número de equaçoes igual ao número de incógnitas; 2. Se o sistema é SPI, por esse método só podemos classificar o sistema (não é possível e ressão que representa o PAGF representa o conjunto solução do sistema; .

Será utilizado para discussão do sistemas lineares. TEOREMA DE CRAMER. Seja S um sistema linear com número de equações igual ao número de incógnitas ( O), então a sistema será possível e terá solução única ((Se o determinante da matriz incompleta do sistema for diferente de zero (D 1(, 2(, n), tal que: (i = [PiC] {1, 2, Onde Di é o Determinante da Matriz obtida de A substituindo- se a i’ésima coluna pela coluna dos termos independentes das equações do Sistema. Ou seja, para um sistema de 3 equações a 3 variáveis temos: [pic]

CLASSIFICAÇÃO DO SISTEMA SEGUNDO CRAMER: Se o Sistema: 1. ( (O ( SPD (Solução Única: O sistema é dito Possível e determinado) 2. ( = O e todo (l = O ( SPI (Infinitas soluções: Sistema possível e indeterminado devemos escrever a expressão algébrica que representa o conjunto solução). 1. ( Oe pelo menos um (i(O SI Sem Solução: O sistema é dito impossível). 28 alqueires paulista em duas partes: numa plantará arroz e na outra milho. Ele espera vender a produção de cada alqueire de arroz por R$ 4. 000,00 e, no caso do milho, por R$ 3. 000,00 o alqueire. r precaução, o sitiante deseja que os valores das vendas totais do arroz e do milho sejam iguais entre si. Que área deverá destinar a cada uma destas plantações? 1. Um sitiante dividirá uma área de 28 alqueires em duas partes: numa plantará arroz e na outra milho. Ele espera vender a produção de cada alqueire de arroz por R$ 4. 000,00 e, no caso do milho, por R$ 3. 000,00 0 alqueire. Por precaução, o sitiante deseja que os valores das vendas totais do arroz e do milho sejam iguais entre si. Além disso, ele deseja que o valor investido no plantio o arroz supere em R$ 30. 00,00 0 investido no milho. Se cada alqueire de arroz exige investimento de R$ 30. 000,00 e, no caso do milho, de R$ 20. 000,00; que área o sitiante deverá destinar a cada plantio? O exemplo anterior nos mostra que as exigências de um problema podem ser insuficientes para determinar sua resposta; permitindo o aparecimento de inúmeras delas (Sistema SPI); podem ser adequadas, caso em que o problema terá única solução (sistema SPD); ou ainda, podem ser exageradas, impossibilitando a solução do mesmo (Sistema SI).

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