Geometria analitica

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ÍNDICE CAPÍTULO 01 – ÁLGEBRA VETORIAL 1 – VETORES 03 2 – VETORES EM R2 03 3 – VETORES EM R3 04 4 – VETORES EM EXERCÍCIOS 04 5 – ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR 05 EXERCÍCIOS OS 6 – VETOR UNITÁRIO NUMA DIREÇÃO DADA 05 EXERCÍCIOS 06 7 – PRODUTO ESCA 8 – PROPRIEDADES D 9 – PRODUTO VETORI 10. PROPRIEDADES D EXERCÍCIOS 08 PACE 1 orn 10 • PRODUTO MISTO 09 12 – PRODUTO DUPLO og EXERCÍCIOS: 10 CAPÍTULO 2 – APLICAÇÕES DA ÁLGEBRA VETORIA 1 – DIS ANCIA ENTRE DOIS PONTOS 11 2 – ÁREA DE UM TRIÂNGULO 11 3 – PONTO MEDIO DE UM SEGMENTO 11 EXERCÍCIO 12 4.

PROJEÇÃO DE UM VETOR SOBRE UMA DIREÇÃO DADA 12 5. ?NGULO DE DOIS VETORES 12 EXERCÍCIOS 12 6. VOLUME DO PARALELEPÍPEDO 13 EXERCÍCIO 13 CAPITULO 3 – A RETA EM R2 E R3 1 – EQUAÇÃO DA RETA NO PLANO 14 GEOMÉTRICOS 23 EXERCICIOS 24 3 – AS CÔNICAS – circunferência 24 EXERCICIOS 25 5 – A EQUAÇÃO GERAL DO SEGUNDO GRAU 26 EXERCÍCIOS 26 6 – POSIÇAO RELATIVA 26 EXERCÍCIOS 27 7 -A PARÁBOLA 28 EXERCÍCIOS 30 8 – A ELIPSE 30 9 – A EQUAÇÃO DA ELIPSE 30 EXERCICIOS 32 10 -A HIPÉRBOLE 32 11 -A EQUAÇÃO DA HIPÉRBOLE 33 EXERCÍCIOS 35 11.

A EQUAÇÃO GERAL DO SEGUNDO GRAU COM DUAS VARIÁVEIS 35 12. IDENTIFICANDO A EQUAÇÃO 36 13 – DEMONS RANDO AS RELAÇOES DO ITEM 2 36 EXERCÍCIOS 37 CAPITULO 6- O PLANO – EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 37 EXERCÍCIOS: 38 2. EQUAÇÕES PARAMÉ RICAS 38 EXERCÍCIOS 38 3. DETERMINAÇAO DE UM PLANO 39 EXERCÍCIOS: 39 4. CASOS PARTICULARES 40 5. ÂNGULO DE RETA E PLANO 41 1 – VETORES Analisando uma séri PAGF s veremos que algumas grandeza vetorial usa-se um segmento de reta orientado (fig. 1) a quem chamamos de vetor.

Alertamos o leitor que essa representação nem sempre será possível pois veremos que existem elementos que não podem ser representados por um vetor apesar de apresentar propriedades operacionais idênticas às dos vetores. Na figura 1, A é a origem e B a extremidade do vetor. Para indicar que um elemento é um vetor usamos: i. uma letra minúscula encimada por uma seta, [pic] ii. indicação da origem e extremidade encimada por uma seta, [pic] ii’. uma letra minúscula em negrito a . usaremos esta notação em nossos textos por facilidade de editoração. O módulo do vetor é representado pelo comprimento do segmento.

A direção é definida pela reta suporte do vetor enquanto que o sentido é determinado pela seta. Indicamos o módulo do vetor [pic]por a (não em negrito) ou [pic] I 2 – VETORES EM R2 Podemos considerar vetores que pertencem a uma única reta, um plano e ao espaço. Vetores que pertencem a uma única reta são ditos unidimensional ou vetores do espaço R. Vetores que pertencem ao plano são ditos bidimensional ou vetores do espaço R2 e vetores no espaço tridimensional são vetores de R3. Estas idéias podem ser estendidas para um espaço n- dimensional, são vetores de Rn.

Iniciaremos nosso estudo com os vetores em R2. Os vetores de R2 podem ser representados no plano car nosso estudo com os vetores em R2. Os vetores de R2 podem ser representados no plano cartesiano, conforme indicado na fig. . A figura 2 mostra o vetor v cuja origem é o ponto A = (5, 4) e cuja extremidade é o ponto B = (9, 9). Em geral, usa-se na álgebra vetorial substituir o vetor por um vetor equivalente (vetor de mesmo módulo, mesma direção ou direção paralela e mesmo sentido) cuja origem coincide com a origem dos eixos cartesiano, ou seja, um vetor como v’.

Assim, o vetor v’ é denominado, vetor equivalente a v, localizado na origem. Esse vetor será indicado por v” = (4, 5) onde (4, 5) são as coordenadas de sua extremidade. IMPORTANTE (1) Pela figura é fácil concluir que, se (xl, yl) e (x2, y2) são s coordenadas da origem e da extremidade de um vetor, o equivalente localizado na origem será (x2 -xl, y2 – yl). (2) O módulo do vetor v — (x, y), de acordo com o teorema de Pitágoras é [picl 3 – VETORES EM U No espaço tridimensional, cada ponto é indicado por três coordenadas (x, y, z).

Assim, todo vetor de R3, localizado na origem será indicado por (x, y, z) onde (x, y, z) são as coordenadas de suas extremidades. Assim, o vetor u da fig. 3, será u = (x, y, z). O módulo do vetor u, de R3 é determinado por expressão essa obtida a partir do cálculo da diagonal de um paralelepípedo retângulo. – VETORES E paralelepipedo retângulo. 4 – VETORES EM Rn Os conceitos, notações, módulos e operações definidas para vetores em R2 e R3 podem ser estendidos aos vetores no espaço Rn. Entretanto, para espaços de dimensão superior a três não é possível (ainda) uma representação gráfica.

EXERCÍCIOS 1. Represente graficamente cada um dos vetores vl = (2, -3), v2 – (-3, 4), ‘,43 = (2, 2, 1) ev4- (3, 4, -12). 2. Considere o vetor AB onde A = (2, -3) e B = (5, 1). Determine o vetor equivalente a AB, localizado na origem dos eixos cartesianos. Represente no plano cartesiano os vetores AB e seu quivalente. 3. considere o vetor AB, onde A – (3, -5, 1) e B = (5, -2, 5). Determine o vetor equivalente a AB, localizado na origem dos eixos cartesianos. Represente no plano cartesiano os vetores AB e seu equivalente. 4.

O vetor AB é tal que A = (2x 1, 2) e B = (x, Y). se o vetor equivalente, localizado na origem é v (-4, 12), determine os valores de xe y. 5. Determine o módulos dos seguintes vetores: vl = (2, -3), v2 = 4), „3 = (2, 2, 1), v4 (3, 4, -12) e „5 = (5, 1, 5). 6. Determine o valor de “m” se o módulo do vetor v = (2m+2, m-l, 2m -7) se lv I = 13. 5 – ADIÇÃO MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR PAGF s OF Adição de Vetores: Dados os vetores u (ul, u2, u3, . , un) e v — , vn), de Rn, define-se o vetor soma s = u + v, tal que s = (ul + VI, u2 + v2, u3 + v3, . n + vn) A adição de vetores goza das seguintes propriedades: p 1) u + v = v + u (comutatividade) Temos: *VI, U2 V2, V3, , un vn) = + Ul, v2 + U2, V3+ U3, vn + un) (comutatividade da adição de números reais) = v + u. P2) (u + v) + w u + (v + w) (associatividade) P3) Vetor nulo, simbolizado por O = (O, O, O, … O), tal que O + v = v + P4) Vetor simétrico. para cada vetor v, existe o vetor -v, simétrico a v, tal que v + -v = -v + v = 0. Consequência: o simétrico de u = (Ul, u2, u3, un) é -u = (-ul, 112, -113, u Os vetores u e -u têm a mesma direção, o mesmo módulo, porém, seus sentidos são opostos.

P5) O módulo da soma de dois vetores não é igual à soma dos módulos dos dois vetores. Definição 2 – Multiplicação por escalar – Sejam: o vetor v = , vn) de Rn e o escalar r ( R. Define-se o produto do escalar r pelo vetor v, como sendo o vetor w, tal que = (rvl, rv2, rv3, rvn). A multiplicação de um escalar por um vetor goza das propriedades: P6) rv = vr. (comutatividade) P7) r. (u + v) = ru + N. distributividade em relação à adição de vetores) ru + rv. (distributividade em relação à adição de vetores) P8) (r + s). v = r»’ + sv. (distributividade em relação à adição de escalares).

P 12) rv é paralelo a v, sendo r um número real. P 13) ( . s)v r. (s. v) 1) Demonstre as propriedades P2 a P8. 2) Sejam u = (2, -4, 6), v = (-3, 12, -4) e w vetor x tal que: b) x = 3u+2w C)x-2U-V d) x — 2 (u + v)+3w 03 (u + H) = 4x+2w do vetor Bu -4v + 2w. , -1). Determine o -2), determine o módulo 6 – VETOR UNITÁRIO NUMA DIREÇÃO DADA A partir da multiplicação de um escalar por um vetor, ode-se definir um vetor unitário, vetor esse que têm o mesmo sentido que um vetor w, tal que w w l. [pic] , ou seja, w/ Tomando, por exemplo: w (3, 4, -12), teríamos, [pic] e [pic]- (3/13, 4/13, -12/13).

Costuma-se usar vetores unitários cujas direções com as direções positivas dos eixos cartesianos. Para o plano, esses unitários são indicados por usa-se i e j (fig. 1), tais que i = (l , 0) e i = (0, sa notação para um vetor PAGF 7 indicados por i, je k (fig. 2), onde I • O, O), j 1, O)ek- (0,0, 1). Um vetor como v = (a, b, c) é indicado como v = ai + bj + ck. 1. Escreva o vetor unitário na direção de: ) (-3, 12, -4) 2. Determine o vetor w, tal que w 3u + 2v, se u — 3i -2j + Sk e v — 3. Calcule o módulo dos vetor 3u + v, se u = 31 – 2j + 5ke v = -5i + 4.

Calcule o vetor unitário na direção do vetor 3u v, determinado no exercício 3. 7 – PRODUTO ESCALAR Sejam u = (xl, yl, zl) e v (x2, y2, z2) dois vetores, que formam um ângulo Define-se o produto escalar de u por v, que é simbolizado por u. v como sendo o escalar (número real) u l. I v l. cos Observe que esse produto é indicado por um ponto. Não pode ser usado o sinal X pois este será utilizado para outro tipo de produto. O produto escalar é usado em muitas definições de grandezas físicas, como por exemplo o trabalho que é definido pelo produto (vetor força) . vetor deslocamento). Força e deslocamento são duas grandezas vetoriais, mas o trabalho é uma grandeza escalar. Para obter o produto escalar em função das coordenadas dos vetores, multipliquemos inicialmente os unitários: i. i= i. k i. k= 1. 1 . cos 900 i. i = 1. 1 . cos 00 1. 1. cos 1. 1. O-O e i. i . l. cos 00-1. 1. 1 -1. Escrevendo os vetores u e v em termos dos unitários, o produto u. v fica: (xl i + ylj + +y2j + z2k) = xlxli. i + xly2i. j + xl z2i. + y1x2j. i 4 YIY2j. j YIZ2j. k + ZlX2k. i + ZlY2k. j ZIZ2k. k = XIXI. I + xlY2. o + xlz2. O+y1x2.

O+y1y2. 1 +y1z2. O zlx2. O+ zly2. O+ zlz2. 1 = XIX2 + Esta expressão para o produto escalar pode ser estendida a vetores com qualquer número de coordenadas. Assim, Pela definição I u 1-1 v l. cos ( é fácil verificar que se u ev são dois vetores perpendiculares, o produto escalar é nulo pois cos 90″ = o. Exemplos: (l) se u = (2, 3, 4) e v = 4, 5) entao U. v = 2. (-2) 3. 4 + 4. 5 = -a 12 + 20 28 (observe que o resultado é um número). (2) Os vetores u = (2, -3, 4) ev = (5, 2, -1) são perpendiculares pois . v – 2. 5 + 3. (-2) + 10- 6-4 – o. 8.

PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR Para o produto escalar são válidas as propriedades: p 1 u. v = v. u (comutatividade) P3. (u. v). w é um vetor, pois (u. v) é um escalar e (u. v). w é o produto de um escalar por um vetor. P4. (u. v). w ( u. (v. w) pois (u. v). w é um vetor na direção de w e u. (v. w) é um vetor na direção de u. P5. s. (u. v) = (s. u). v 1. Efetue as operações abaixo para u = (1, 4, 5), v a) u. v b) 1. Efetue as operações abaixo para u — (1, 4, 5), v b) w. u c) 3u. 2w d) (Bu – 4v). (5w) e) (u. v). w f) u. (v. w) 9 – PRODUTO VETORIAL

O produto vetorial, como o próprio nome diz, é uma multiplicação de dois vetores onde o resultado será também um vetor. Para indicar o produto vetorial de u porv escrevemos u xv ou u (v (nesta última notação lê-se u vec v. Os sinais x ou ( são usados para o produto vetorial e não podem ser substituído pelo ponto que é usado para o produto escalar. u xv = u (v significa um produto vetorial u. v é usado para produto escalar. É importante observar que quando se tratar de multiplicação de dois números (escalares) ou de escalar por vetor, podem ser usados indistintamente o ponto e o x.

Entretanto, não se usa o sinal ( quando estiver algum escalar envolvido na multiplicação. Algumas grandezas físicas que apresentam características vetoriais são resultados de um produto de dois vetores pode resultar em um vetor. por exemplo: (i) o torque ou momento de uma força, que é definido por M = r x F onde r é o raio que define a posição do ponto de aplicação da força Fe (ii) uma corrente em um campo magnético. Sobre o condutor da corrente atuará uma força F = (i x B). L, sendo i a corrente, B o campo magnético e L o comprimento do condutor inserido no campo magnético. Nestes pr

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