Matematica financeira

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Material de Matemática Financeira – Prof. Mário Roberto JURO E MONTANTE JURO É o custo do crédito ou a remuneração do capital aplicado. Isto é, o juro é o pagamento pelo uso do poder aquisitivo por um determinado período de tempo. O custo da unidade de capital no período é a conhecida TAXA. TAXAS DE JUROS O juro é determinado através de um coeficiente referido a um dado intervalo de tempo. Tal coeficiente corresponde à remuneração da unidade de capital empregado por um prazo igual àquele da p taxa. Exemplos: 15% o capital empregado Observação As taxas percentual a. 8 OF46 apital. C] Em um ano as de dois modos: ) (8/100) (2/100) unitária. Isto é 0,15 a. a 0,08 a. t 0,02 a. m Como: CÁLCULO DEJURO Simples composto JUROS SIMPLES (j) Quando o regime é de juros simples, a remuneração pelo capital inicial aplicado (também chamado de principal) é diretamente proporcional ao seu valor e ao tempo de aplicação. O fator de proporcionalidade é a taxa de juros. Supondo que um capital C apresenta um rendimento de ao período. Qual seria o juro ganho em n períodos? jl C. i. l j2 C. i. 1 j3 – C. i. l … jn = C. i. l Financeira – Prof.

Mário Roberto Observações: 1 – i = / 100 2- A taxa e os períodos têm que estar na mesma unidade de tempo 2 Exemplo: Quanto rende um captal inicial (principal) de R$S. OOO,OO aplicado à taxa de 3% ao trimestre por um prazo de 2 anos? ou Solução C = 5. 000 i = 0,03 a. t n = 2 anos = 8 trim. Logo j = C. i. nj = 5. 000xO,03. xj R$l -200,00 C 5. 000 i = 0,03×4 = 0,12 a. a n=2a Logo j = 5. OOOXO,12X2 j = R$1. 200,OO MONTANTE Define-se como montante de um cap•tal, aplicado à taxa i e pelo prazo de n períodos, como sendo a soma do juro mais o capital inicial.

Sendo C o principal, aplicado por n períodos e á taxa de juros i, teremos o montante (N) como sendo: N=C+J N =C+c. i. r-lL] Poderiamos ter. co noc 3 Exemplo Qual é o montante de um ca ? taxa de 8% a. a. pelo pra 2 46 ital de R$2. 000,00 aplicado soluçao: C = 2. 000 i taxas. Estas taxas se dizem proporcionais se houver a igualdade de quociente das taxas com o quociente dos respectivos períodos ou N=C+J N C + C. i. n N 2. 000 + 2. oooxo,08×2 N 2. 000 + 320 N = R$2. 320,OO il nl Di2 n2 il. n2 = i2. n1 il i2 C)nl n2 Exemplo Sendo dada a taxa de juros de 18% a. . , determinar a taxa proporcional mensal. Solução: il nl C]i2 n2 180 i2 – 12 CII 12 a. m. Este problema (achar-se a taxa proporcional a uma fração de período) merece ser estudado com um pouco mais de cuidado. Sendo ia taxa de juros correspondente a 1 período e dmitindo-se que queremos determinar a taxa proporcional im correspondente á fração 1 / m de um período, tem-se: 4 3 46 tempo, ambas produzem o mesmo juro. Exemplo Seja um capital de R$3. OOO,OO que pode ser aplicado alternativamente à taxa de 2% a. m. ou 24% a. a.

A um prazo de aplicação de 3 anos, verifique se as taxas sao equivalentes. soluçao ji = 3. oooxo,02X36 – R$2. 160,OO 12 = 3. oooxo,24X3 – R$2. 160,OO Logo as taxas: 2% a. m. e 24% a. a. são taxa equivalentes. Dar conclui-se que: PROPORCIONAIS. EM JUROS SIMPLES TAXAS EQUIVALENTES 5 SÃO PERÍODOS NÃO INTEIROS Exemplo Qual é o juro do capital de R$2. 000,OO que é aplicado à taxa de juros simples de 9% ao semestre, pelo prazo de 2 anos e 3 meses? Solução C 2. 000 i = 0,09 aas. n = 2 anos e 3 m eses = 4,5s. jl = 2. 000×0,09×4 = R$720,OO j2 = 2. ooxo,09X1/2 = R$90,oo logo j = 11 + j2 = 720,00 + 90,0 = R$810,OO ou j = j = R$810,OO JURO EXATO EJURO COMERCIAL JURO EXATO: Chama-se juro exato aquele que é obtido quando o período n está expresso em dias e quando é adotada a convenção de ano civil (365 dias) je O c. i. n 365 JURO COMERCIAL: Chama-se juro comercial (ou ordinário) o juro que é calculado quando se adota como base o ano comercial(360 ias) e que o periodo n está expresso em dias: jc Cl 4 46 calcule o juro exato e o comercial de um capital de R$800,00 aplicado por 50 dias. Solução 6 c. i. nJe – 360 c. i. jc = 365 – 800xo,24×50 RS26,67 360 800xo,24×50 R$26,30 365 VALOR NOMINAL E VALOR ATUAL (PRESENTE) VALOR NOMINAL (N) É quanto vale um compromisso na data do seu vencimento. Se após o vencimento o compromisso não for saldado, entendemos que o mesmo continuará tendo seu valor nominal acrescido de juros e de eventuais multas por atraso. VALOR ATUAL OU PRESENTE ( C ou An) É o valor que um compromisso tem em uma data que antecede seu vencimento. Exemplos 1 Considere que uma pessoa possui hoje a quantia de R$4. 000,00. Qual será o valor futuro se a pessoa aplicar esta importância ? taxa de 2% a. . , daqui a 5 meses? Solução 4. 000 N 5 meses N = CCI + i. n) 4. 000(1 + 0,02×5) 4. 000(1 +0,1) 4. OOOX1,1 – R$4. 400,OO 2- Vamos admitir que uma pessoa aplicou hoje uma certa quantia e que recebeu, pela aplicação, um título que irá valer R$24. OOO,OO daqui a 12 meses. Qual seria este valor, hoje, sabendo que a taxa de mercado é de 5% a. m? N = 24. 000 Solução c 12 meses s 6 0,05×12) 24. 000 = + 0,6) 24. 000 = CXI 24. 000 = ca c = R$15. OOO,OO 1,6 EXERCÍCIOS 1- Calcular a taxa quadrimestral roporcional às seguintes taxas: a) 21% a. a. b) 33% ao biênio c) 10% a cada cinco meses. – Determinar a taxa proporcional referente a 5 meses, dadas as taxas seguintes: a) 1% a. m. b) 2,5% ao bimestre c) 12% a. s. 3- Calcular o juro simples e o montante de: a) R$SOO,OO a 25% a. a. por 8 meses. b) R$2. 200,OO a a. a. por 2 anos e 5 meses. c) R$3. OOO,OO a a. a. por 19 meses. 4- Qual é de: a) b) c) a taxa de juro simples que, de um capital de R$l. 200,00, gera um montante R$1. 998,OO em 3 anos e 2 meses R$1. 470,00 em 10 meses. R$2. 064,00 em 1 Ano e 8 meses. 5- Qual é o cap tal que rende: a) R$ 1 50,00 a 18% a. a. em 0 meses b) R$648,OO a 21 a. a. em 2 anos e 6 meses. ) R$l . 500,00 a 30% a. a. em 3 anos e 4 meses. 6- Em quanto tempo um capital de R$ 10. 000,00 aplicado a 26,4% a. a. a) renderá R$4. 620,OO b) elevar-se-á R$16. 1 60,00 7- Qual é a taxa bimestral equivalente a 28,2% a. a.? 8- Calcular o juro comercial e o exato das seguintes propostas: a) R$800,00 a 20% a. a. por 90 dias. b) R$l. 100,00 a 27% a. a. por 135 dias. Material de Matemática Financeira – prof. Mário Roberto 8 9- Qual é o valor nominal e a data de vencimento de cada um dos compromissos abaixo (juro comercial): a) R$l . 000,00 em 1 2/02 para 90 dias a 25% a. a. ) R$l . 6 46 compromissos abaixo (Juro comercial): a) R$l . OOO,OO em 1 2/02 para 90 dias a 25% a. a. b) RSI . 500,00 em 20/04 para 180 dias a 28% a. a. c) R$2. 400,00 em 06/01 para 8 meses a 30% a. a. IO- Se tenho um título com valor nominal de R$15. 000,00 com vencimento daqui a 2 anos e a taxa de juros corrente é de 28% a. a. , qual o valor atual desse título nas seguintes datas: a) hoje. b) Daqui a 1 ano. c) 4 meses antes de seu vencimento. 11- O valor nominal de um título é igual ao dobro de seu valor de face (valor da aplicação). Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 12,5% a. . , qual é o prazo da aplicação? 2- Se o valor atual for igual a 2/3 do valor nominal e o prazo de aplicação for de 2 anos, qual será a taxa de juros considerada? 13- Uma loja oferece em relógio por R$3. 000,00 a vista ou por 20% do valor a vista como entrada e mais um pagamento de R$2. 700,OO após 6 meses. Qual é a taxa de juros cobrada? 14- João emprestou R$20. 000,00 de Carlos para pagá-lo após 2 anos. A taxa ajustada foi de 30% a. a. Quanto Carlos poderia aceitar, se 6 meses antes do vencimento da dívida João quisesse resgata la e se nesta época o dinheiro valesse 25% a. .? DESCONTOS Quando se faz uma aplicação com vencimento ré-determinado, o aplicador: n Recebe um compromisso da aplicação D Que é uma nota promissória D Ou uma letra de câmbio Obter parte do principal e dos juros, em troca d 46 nota promissória LI Ou uma letra de câmbio Obter parte do principal e dos juros, em troca do título, é uma operação de “desconto” Uma empresa faz uma venda a prazo, com vencimento pré-determinado: Cl Recebe do comprador uma duplicata a empresa pode ir a um banco e transferir a posse da duplicata em troca de dinheiro.

Esta é uma operação de “descontar uma duplicata. ” DESCONTO RACIONAL OU DESCONTO ” POR DENTRO” 9 ?o desconto obtido pela d’ferença entre o valor nominal e o valor atual de um compromisso que seja saldado n períodos antes do seu vencimento. Desconto: é quantia a ser abatida do valor nominal. Valor descontado: é a diferença entre o valor nominal e o desconto. Sendo: N: valor nominal ( ou montante) Vr: valor atual ( ou valor descontado racional) n: número de períodos antes do vencimento i: taxa nominal de desconto. Dr: valor do desconto racional. Temos: N = CCI i. n) N = Vr(l + n i. Logo teremos: Dr N — Vr = N – N . i. n 1 Cl i. n Exemplo Uma pessoa pretende saldar um título de R$5. 500,OO 3 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 40% a. a. a) Qual o desconto racional? b) Quanto vai obter (valor atual) Solucao 8 46 racional? b) Quanto vai obter (valor atual) Solução Dr Vr03N 5. 500 x IOX33 vr = R$5. OOO,OO b) vr- N – Dr = 5. 500,00 – 500,00 10 DESCONTO COMERCIAL OU DESCONTO “POR FORA” Ê aquele valor que se obtém pelo cálculo do juro simples sobre o VALOR NOMINAL do compromisso que seja saldado n períodos antes de seu vencimento.

Isto é: Dc = N. i. n Valor Atual Comercial (Vc) N — Dc = N — N. i. n Vc = – i. n) Exemplo Consideremos o exemplo do item anterior, em que o titulo de R$5. 500,00 é escontado à taxa de 40% a. a. 3 meses antes do vencimento. Solução; Vc Dc N 0a) DC = N. 1 n- -12 b) vc – -i. m = 5. 500,000 – vc vc RS4. 950,OO Então essa pessoa vai receber R$4. 950,00 pelo desconto comercial, que é menor que R$5. 000,OO que receberia se o desconto fosse racional Neste caso a instituição financeira ganha R$550,00 sobre o valor de R$4. 50,OO em 3 meses, e a taxa de juros da operação é: j C. i. n i i = 44,44% Note então que, no desconto comercial é preciso distinguir entre a taxa de desconto utilizada na operação e a taxa implícita que é cobrada de fato. Isto é taxa efetiva de juros. 3 = R$ 550,00 Material de Matemática Fi f. Mário Roberto – R$ 550,00 A taxa efetiva de juros será aquela que conduz pelo desconto racional ao mesmo valor calculado pelo desconto comercial 11 Vejamos! A que taxa de desconto racional, corresponde 30% a. a. o desconto comercial, no período de 6 meses antes do vencimento de um título? Tomemos como: ir = taxa no desconto racional ic = taxa no desconto comercial Dc = Dr 1 D ic . n 1 N ic . n 1 L] ic -n Isto é: ir Cl ic 1 Oic . n No exemplo acma temos que: ir n ic 0,30 0,30 0,30 Cl D n n 0,3529 0 35, 29%a. a. 1 Oic 1 n 0,30 1 no,15 0,85 sto quer dizer que a taxa efetiva é de 35,29% a. a. no desconto acional. E 30% a. a. seria uma taxa nominal. Exercícios 1 Determinar o desconto racional das seguintes hipóteses: Valor Nominal Taxa prazo até vencimento a) R$IO.

OOO,OO a. a. 3 meses b) R$7. 500,OO 29%a. a. 100 dias c) R$8. 200,OO a. a. 1 ano e 2 meses 2- Determinar o valor atual racional dos seguintes títulos: Valor Nominal Taxa Prazo até Vencimento a) R$20. 000,00 15,9% a. a. 50 dias b) R$12. 500,OO 21% a. a. 125 dias c) R$6. 420,OO 30% a. a. 8 meses 3-Quanto devo pagar por um titulo no valor nominal de R$15. 000,OO com vencimento em 150 dias se quero ganhar 36% a. a.? 4- Se o desconto racional concedido for de R$57,63, 0 DF 46

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