Abcd
2 – Triedro de Frenetl 2. 1 — Introdução Nesta seção é desenvolvido um sistema de referência, com origem no ponto que define a posição de uma partícula ao longo de sua trajetória. Este referencial será importante para desenvolver uma abordagem vetorial da velocidade e da aceleração de uma partícula nas próximas seções. 2. 2 – Versor da tange Inicialmente será ad sistema de eixos cartesianos OXYZ.
A t representada por um or7 to view nut*ge , definido por um de ser uma a posição da partícula ao longo desta trajet ria pode ser definida pelo ponto P = ( x, y, z ) E a cun,’a, cujas coordenadas podem ser expressas m função de um parâmetro escalar t, ou seja, x = x(t portanto, p = p (t), onde t não é necessariamente a variável tempo. Fig. 2. 1 — Trajetória do ponto material P O vetor OP , com origem em O e extremidade no próprio ponto P, localiza um ponto P da curva. Este vetor é chamado de vetor posição. urva, OP Como x = x(t ),y z (t), o vetor OP depende somente do parâmetro t, ou seja, op = OP(t). Fig. 2. 2 — Vetor posição Para t —t O , o vetor assume a posição OP (t O) OP 0 , se o parâmetro variar para tl = to + M , o vetor assumirá uma outra posição OP (tl ) = OP (t Com os vetores OP Oe OP 1 , o vetor P é definido por Ô P = OP 1 -opo. Fig. 2. 3 — Vetor Onde P é o vetor diretor da reta s, secante à curva, e definida pelos pontos PO Dividindo o vetor p pelo escalar At , seu módulo é alterado mas sua direção e seu sentido são mantidos.
Fig. 2. 4— Reta secante à curva (reta s) no ponto PO Reduzindo o parâmetro At , o ponto Pl assumirá posições cada vez mais próximas do ponto PO. Seria como se a reta s girasse em torno do ponto PO. Se tender a zero, os pontos PO e Pl definem o vetor PO P 1 , que tem a direção da reta r, tangente à curva no ponto PAGFarl(F7 osição OP(t ) em relação ao parâmetro t. Fig. 2. 6 — Vetor diretor da reta tangente à curva (reta r) no ponto Observe que o vetor é o vetor diretor da reta r, tangente à curva no ponto PO. t Para obter o versor tangente (vetor com módulo unitário), basta efetuar a divisão do próprio vetor pelo seu módulo. Para facilitar a notação, será empregado – OP . Portanto, t – op , que é o VERSOR DA TANGENTE à curva num determinado ponto P. 2. 3 – Tópicos de Geometria Analítica PAGF3rl(F7 obtido a partir de um produto vetorial é perpendicular aos dois vetores deste produto: -,WLUeW V. 2. – Versor da Normal Principal Será obtido um segundo versor, perpendicular ao versor tangente.
Se o módulo do versor tangente for elevado ao quadrado: 2 Derivando membro a membro, utilizando a regra do produto, vem: 21 Substituindo OP (2. 4. 1. 2) n • sene Como te n são ortogonais entre si, e = 90 Logo bé versor. Se b -t Ane n vale dizer que n -b A t (veja figura 2. 8). Portanto: PAGFsrl(F7 curvatura (que será representada pela notação p ) de uma linha no ponto P pela equação: dl ds (2. 6. 1 ) Inicialmente será obtida uma equação para o vetor dr dr dt cnop• ds dt ds o Pdtno P’ o P’ OP dC]0P’C]