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71 CAPITULO 3 COMPONENTES SIMЙTRICOS 3. 1 – Anбlise por componentes simйtricos Em 1918, o Dr. Fortescue apresentou а “American Institute of Electrical Engineers” o trabalho denominado “Mйtodo de Componentes Simйtricos aplicado а soluзгo de Circuitos Polifбsicos”. Este mйtodo desde entгo vem sendo largamente usado na anбlise de funcionamento de circuitos elйtricos desbalanceados. Embora o mйtodo seja aplicбvel a qualquer sistema polifбsico desequilibrado, este curso tratarб especificamente de sistemas trifбsicos.

De acordo com o entгo denominado desequilibrados, de u 0 istemas equilibrado e page sгo: 1. Componentes fasores iguais em mу кs fasores, ubstituнdos por trкs untos equilibrados onsiste de 3 , e tendo a mesma sequкncia que os fasores originais. 2. Componentes de sequкncia negativa, consistindo de 3 fasores iguais em mуdulo, defasados de 1200, e tendo a sequкncia da fase oposta a dos fasores originais. 3. Componentes de sequкncia zero, constituнdo de 3 fasores iguais em mуdulo com defasagem de 00 entre si.

Assim, se um sistema tem a sequкncia de fases abc, as sequкncias de Swige to next page de fases dos componentes de sequкncia positiva e negativas, erгo respectivamente abc e acb. Exemplo: sejam 3 fasores originais de tensгo, Va, Vb e Vc , que serгo decompostos nos trкs conjuntos abaixo: 72 vcl val Vb2 Vbl Va2 VaO Vb0 VcO VC2 Figura 3. 1 A soma grбfica dos 3 sistemas darб: va vc VCO V V ao V a2 V al REFERКNCIA Figura 3. 2 – Vbl Da fig. 3. 2 tira-se que: Vaz Val + Va2 + Vao Vb vc- vcl vc2 + VCO (3. 3) = Vbl + Vb2 + Vbo 3. – Operadores 20 jO,866 Aplicando-o duas vezes haverб uma rotaзгo de 2400, trкs vezes 3600. Algumas das muitas combinaзхes do operador a sгo mostradas a seguir: a = 1 11200 = -0,5 + j0,866 a2 1 12400 -0,5 -jO,866 a3 = 1 13600 = 1 +jo 1 11200 = -0,5 + jO,866 = a I + a = 1 1600 = + jO,866 = -a2 1 -a = 31-300 = 1,5 – 1 + az = 1 /-600 – jo,866 -aa + a2 1/1800 = -1 -jo a – a2 = 3 1900 ji,732 1 +a+a2 +j2 2/1350 2/-2250 –1 + 21-2700 = o + j2 A fig. 3. 3 mostra diversos fasores operados por a: 3-1, -a 60 0 600 -a2 600 1, a3 -a Figura 3. IMPORTANTE: Enquanto que +j 1/1 200 -a 1 11 200 . 1 11800 = 1 13000 = 1 ‘-600 significa rotaзao de +900 e -j rotaзao de -900, para o operador a nгo se pode fazer afirmaзгo anбloga: 73 74 3. 3 – Componentes simйtricos de fasores assimйtricos Retomando as equaзхes (3. ), (3. 2) e (3. 3): va = vai va2 + vao Vbl + Vb2 + Vb0 vc- VCI + vc2 + VCO (3. 1) (3. 2) (3. 3) Usando o operador a e os conceitos tirados das figuras anteriores: (3. 4) Substituindo o conjunto de equaзхes (3. 4) em (3. 2) e (3. ), tem-se que o sistema de tensхes Var Vb e Vc poderб ser assim reescrito: Va = Val + Va2 + VaO Vb = a2Va1 + aVa2 + VaO Vc aval + a2Va2 + Va0 Matricialmente: (3. 5) (3. 6) (3. 7) Va Vb Vc 111 a21a 11VaOa. Va1 a2Va2 (3. 8) Por conveniкncia, serб adotado que . 112A=1a1a 1 a a2 (3. 9) Assim, a equaзгo (3. 8) poderб ser assim ser escrita: [Vp] Wc] A matriz inversa de A serб: 75 1 IA-1 a2VaVbVcVaOVa1 Va2 1 a2avao. A. val va2 4 20 Observaзхes importantes: 1. A equaзгo (3. 12) mostra que, em circuitos trifбsicos equilibrados, nгo hб componente de sequкncia zero. 2. As equaзхes (3. 2), (3. 13) e (3. 14) valem tambйm para corrente e podem ser resolvidas grбfica ou analiticamente. Quando representam correntes tem-se: lao = 1/3 (la + Ib + Ic) lal = 1/3 (la + alb + a ic) la2 1/3 (la + a Ib + alc) 22 (3. 15) (3. 16) (3. 17) 76 3. Em um sistema trifбsico com condutor neutro, I n — c . Assim, de (3. 15): lao = 1/3 In n = 31 ao (3. 18) 4- Quando nгo hб retorno, In й nulo . Nestas condiзхes, as correntes de sequкncia zero nгo existirгo. Assim sendo, em uma carga ligada em 0, nao hб corrente de sequкncia zero. Exemplo 1: Um condutor de uma linha trifбsica estб aberto.

A corrente que flui para uma carga ligada em pela linha a й de IDA. Tomando a corrente na linha a como referкncia e a linha c aberta, determine os componentes simйtricos das correntes de linha. a- 10/00 (A 10/1800 (A)elCO soluзao: Das equaзoes (3. 15), (3. 16) e (3. 17): Ia Ia2 = 1/300/00 + 10/1800 x 1/2400 + 0) = 5,78/300 A Das equaзхes (3. 4): Ibl = a21a1 = 5,78/-1500 (A) 152 = ala2 = 5,78/1500 A) IbO Iao = O Ici alai 5,78/900 (A) Ic2 a21a2 = 5,78/900 (A) ICO = lao = O 77 Comentбrios: • Embora Ic = O , os componentes ICI e Ic2 tкm valores definidos, mas ICI + Ic2 = O. ?? A soma das componentes de A deve dar 10/00 [A] e de B, 10/1800 [A]. 3. 4 – Potкncia em termos de componentes simйtricos: Conhecendo-se os componentes simйtricos de corrente e tensгo, pode-se obter, a partir destes, a potкncia consumida: N = P + jQ = Va . Ia* Vblb + Vclc* Matricialmente: (3. 19) va = Vb vc Ia xlb Ic 2 b Ic (3. 20) ou seja, S -VL L 6 OF20 que: At =A Sabe-se ainda que a e a2 sгo conjugados. Portanto: 111a a 11 Iao I al la2 Vai va2] 1 a21a (3. 22) [vao van vaz ao lal la2 (3. 23) A equaзгo (3. 3) ficarб: Vala + Vblb + Vclc 3Va21a2 Ou seja: Ia [Va Vb Vc] b Ic Exemplo 2: ao Va2]Ia1 = + 3va1 lal + 100 / 30 0 220 / o o = 100/-60 0 3. 5 – Componentes simйtricos das impedвncias: 3. 5. 1 – Caso Geral Para a figura (3. 5), as relaзхes para as correntes e tensхes serгo: Vaab c Z aa Vb Z bb Vc M ab = M ba M ca – M ac Z cc Mbc= M cb Figura 3. 5 Va = Zaaia + Mablb + Maclc Vb = Mbaia + Zbblb + Mbclc Vc Mcala + Mcblb Zcclc 79 80 Matricialmente: Va Z aa Vb = M ab Vc M ca cv’p] M ab Z bb M cb M ac M bcZ cc Ia Ib Ic (3. 24) Em termos de componentes simйtricos pode tambйm ser escrito: wc] = [zcc] . IC] Jб foi Visto fases equilibradas: Zaa = Zbb = Zcc = Z Mab – Mba = Mcb = Mbc Mac = Mca = M Substituindo na equaзгo (3. 30): 81 1 [Zcc] -1/3 1 resolvendo esta: ZMMMZMMMZOO (Z+2 M) O M) 00 (3. 31) (Z-M) Como se vк, a matriz de impedвncia se diagonalizou. Caso o circuito nгo fфsse equilibrado, a matriz acima sena totalmente cheia. A equaзгo (3. 31 ) pode ainda ser assim escrita: zo = o o OZI O ozo=Z+2MO-Z1 -Z apenas de sequкncia positiva.. Consequentemente, no caso de uma carga equilibrada, teremos somente corrente de sequкncia ositiva. 3. – Impedвncias de sequкncia dos componentes do sistema: 82 3. 6. 1 – Linhas e cabos ZO=Z 2M A soluзгo do sistema Zl = Z M , mostra que para as linhas transpostas, “ZO” й Z2 = Z — M maior que ‘Zl” ou ‘Z2″ e qu”Z1″й igual a “Z2”. Normalmente a impedвncia de sequкncia zero й da ordem de 2,0 a 3,5 vezes o valor da impedвncia de sequкncia positiva ou negativa (em linhas aйreas ou cabos de 3 condutores). Isso ocorre porque as correntes de sequкncia zero estгo em fase nos trкs condutores. A soma das correntes de sequкncia zero das 3 fases sempre darб um resultado diferente de zero.

Isso implica que, para elas existirem, deverб haver um caminho de retorno (neutro). A impedвncia deste retorno й “Zn”. O circuito de sequкncia zero unifilar, pelo qual normalmente passarб apenas “lo” deverб, neste caso, ter uma impedвncia de retorno 3Zn. Assim, se mostra o efeito de uma corrente lo em uma impedвncia 3Zn: 3Zn10. lo lo lo 3 1 Retorno ) Figura 3. 6 A esta impedвncia deverб ser acrescida a impedвncia prуpria dos condutores. Se o retorno й feito pela terra, serб dificil obter um valor preciso para a impedвncia total dos condutores, pois o sol 0 DF 20