Trignometria
Astronomia. No séc. III a. C. , Arqui trabalho que desenv círculo dado o respec grande número de c trigonométricas. Trignometria Premium By LuispauloSA I uapTn 24, 2012 pages História da Trigonometria A palavra Trigonometria tem origem grega: TRI (três), GONO (ângulo) e METRIEN (medida). Etimologicamente, sign’fica medida de triângulos. rata-se, assim, do estudo das relações entre os lados e os ângulos de um triângulo.
Apesar dos egípcios e dos babilónios terem utilizado as relações existentes entre lados e ângulos dos triângulos, para resolver problemas, foi a atração pelo movimento dos stros que impulsionou a evolução da Trigonometria. Daí que, historicamente a Trigonometria apareça muito cedo as Osociada ? Swipe view next page OF8 guimento do imetro de um primento de mas fórmulas As medições e os resultados dos cálculos feitos pelos astrónomos eram registados em tábuas. As tábuas babilónicas revelam algumas semelhanças com as tábuas trigonométricas.
Surgiu então, na segunda metade do século dois a. C. , um marco na história da trigonometria: Hiparco de Nicéia (180-125 a. C. ). Influenciado pela matemática da Babilónia, acreditava que a melhor base de contagem era a 60. Não se sabe exactamente quando se tornou comum dividir a circunferência em 360 partes, mas isto parece dever-se a Hiparco, assim como a atribuição do nome arco de 1 grau a cada parte em que Sv. ‘ipe to View next page que a circunferência ficou dividida. Ele dividiu cada arco de 10 em 60 partes obtendo o arco de 1 minuto.
Hiparco baseava-se numa única função, na qual a cada arco de circunferência de raio arbitrário, era associada a respectiva corda. Hiparco construiu o que foi presumivelmente a primeira tabela trigonométrica com os valores das cordas de ângulos de 00 a 800. Assim, Hiparco representou um grande avanço na Astronomia e por isso recebeu o título de “Pai da Trigonometria”. Outra tábua, também de cordas, mas mais completa foi construída por Ptolomeu (séc. II). Esta já possuía cordas para ângulos crescentes, desde 00 até 1 800, em intervalos de 1/2 graus.
O raio usado era diferente do de Hiparcus, sendo também fixo e muito grande. Note-se que o facto de usar um raio muito grande diminui o uso de fracções. Foi Ptolomeu (séc. II) quem influenciou o desenvolvimento da Trigonometria, durante muitos séculos. A sua obra Almagesto contém uma tabela de cordas correspondentes a diversos ângulos, por ordem crescente e em função da metade do ângulo, que é equivalente a uma tabela de senos, bem como uma série de proposições da actual disciplina.
No Almagesto reuniu os conhecimentos existentes na época sobre Astronomia e Trigonometria e a que os árabes tiveram acesso. Estes introduziram os conhecimentos de Trigonometria para a Europa através de Espanha. A relação da Astronomia com a Trigonometria fez com que esta se desenvolvesse aplicada a triângulos curvos de lados curvilíneos Trigonometria fez com que esta se desenvolvesse aplicada a triângulos curvos de lados curvilíneos que se formam sobre a superffcie esférica.
Assim, a Trigonometria Esférica desenvolveu- se anteriormente à Trigonometria Plana, o que se deveu ao facto de a Trigonometria Esférica ser muito utilizada nos cálculos astronómicos e na navegação, sendo sistematizada por árabes e hindus até meados do séc. XIII. A contribuição destes foi bastante grande, tendo calculado tabelas de senos para intervalos com variação de 15′. A palavra sinus – seno -é a tradução, em latim, da grafia árabe do sânscrito jyã. O seno correspondia a metade da corda do arco duplo e os árabes e os hindus usavam, geralmente, círculos de raio unitário.
O recurso constante ao circulo trigonométrico e a aplicação da Trigonometria à resolução de problemas algébricos é feita por Viàte— séc. XVI – que estabeleceu também alguns resultados importantes. Contudo, foi Euler (séc. XVIII) que, ao usar invariavelmente o círculo de raio um, introduziu o conceito de seno, de co-seno e de tangente como números, bem como as notações actualmente utilizadas. O primeiro vestígio do tratamento funcional da Trigonometria urgiu em 1635, quando Roberval fez o primeiro esboço de uma curva do seno.
Mas, a ligação da Trigonometria à Análise só é feita por Fourier (séc. XIX), como consequência do estudo dos movimentos periódicos por ele efectuado. As funções trigonométricas como o seno, o coseno e a tangente, relacionam medidas d 3 efectuado. relacionam medidas de ângulos, a medidas de segmentos de recta a eles associados. Actualmente a trigonometria não se limita a estudar os triângulos. Encontramos aplicações na mecânica, electricidade, acústica, música, astronomia, engenharia, medicina, enfim, em uitos outros campos da actividade humana.
Essas aplicações envolvem conceitos que dificilmente lembram os triângulos que deram origem à trigonometria: Há métodos actuais de análise em medicina, onde são enviadas ondas ao coração, de forma que efectuem interacções selectivas com os tecidos a observar Geodésia: estudo da forma e dimensão da Terra Método do momento eléctrico para cálculo de linhas de transporte de energia eléctrica: permite calcular com grande sensibilidade a potência de transporte de linhas, as perdas e a distância a que ela poderá ser transportada
Estudo da intensidade luminosa: calcula-se a intensidade luminosa irradiada por uma fonte luminosa para uma determinada direcção Instrumentos de medidas de ângulos: topografia, ciência náutica e cartografia Numa pesquisa realizada em 1997, com engenheiros que actuam em empresas de grande porte da região da Serra Gaúcha, foi constatado que a trigonometria é o conceito de matemática básica mais utilizado por eles no seu quotidiano. Ponto móvel sobre uma curva Consideremos uma curva no lano cartesiano.
Se um ponto P está localizado sobre esta smen 4DF8 uma curva no plano cartesiano. Se um ponto P está localizado sobre esta curva, simplesmente dizemos p pertence à curva e que P é um ponto fixo na mesma. Se assumirmos que este ponto possa ser deslocado sobre a curva, este ponto receberá o nome de ponto movel. um ponto móvel localizado sobre uma circunferência, partindo de um ponto A pode percorrer esta circunferência em dois sentidos opostos.
Por convenção, o sentido anti-horário (contrário aos ponteiros de um relógio) é adotado como sentido positivo. Arcos da circunferência Se um ponto móvel em uma circunferência partir de A e parar em M, ele descreve um arco AM. O ponto A é a origem do arco e M é a extremidade do arco. Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o arco é denominado arco orientado e simplesmente pode ser denotado por AB se o sentido de percurso for de A para B e BA quando o sentido de percurso for de B para A.
Quando não consideramos a orientação dos arcos formados por dois pontos A e B sobre uma circunferência, temos dois arcos não orientados sendo A e B as suas extremidades. Medida de um arco A medida de um arco de circunferência é feita por comparação com um outro arco da mesma circunferência tomado como a nidade de arco. Se u for um arco de comprimento unitário (igual a 1), a medida do arco AB, é o número de vezes que o arco u cabe no arco AB. Na figura em anexo, a medida do arco AB é 5 vezes a medida do arco u.
Denotando a medida do arco AB por m(AB) e a medida do arco u por m(u S 5 vezes a medida do arco u. Denotando a medida do arco AB por m(AB) e a medida do arco u por m(u), temos m(u). A medida de um arco de circunferência é a mesma em qualquer um dos sentidos. A medida algébrica de um arco AB desta circunferência, é o comprimento deste arco, associado a um sinal ositivo se o sentido de A para B for anti-horário, e negativo se o sentido for horário. O número pi Para toda circunferência, a razão entre o perímetro e o diâmetro é constante.
Esta constante é denotada pela letra grega , que é um numero irracional, isto é, não pode ser expresso como a divisão de dois numeros inteiros. Uma aproximação para o número é dada por: = 3,141 5926535897932384626433832795… Mais informações sobre o número pi, podem ser obtidas na nossa página Áreas de regiões Unidades de medida de arcos A unidade de medida de arco do Sistema Internacional (SI) é o adiano, mas existem outras medidas utilizadas pelos técnicos que são o graue o grado. Este último não é muito comum.
Radiano: Medida de um arco que tem o mesmo comprimento que o raio da circunferência na qual estamos medindo o arco. Assim o arco tomado como unidade tem comprimento igual ao comprimento do raio ou 1 radiano, que denotaremos por 1 rad. Grau: Medida de um arco que corresponde a 1/360 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco. Grado: É a medida de um arco ual a 1/400 do arco completo da circunferência na qual esta 00 ar É a medida de um arco Igual a W400 do arco completo da ircunferência na qual estamos medindo o arco.
Exemplo: Para determinar a medida em radianos de um arco de comprimento igual a 12 cm, em uma circunferência de raio medindo 8 cm, fazemos, I comprimento do do raio 1 28 | Portanto ,5 radianos Arcos de uma volta Se AB é o arco correspondente à volta completa de uma circunferência, a medida do arco é igual a C=2r, então: m(AB)= Icomprimento do arco(AB)comprmento do raiol= 2rrl=l 21 Assim a medida em radianos de um arco de uma volta é 2 rad, isto é, 2 rad=360 graus Podemos estabelecer os resultados seguintes Desenho III I Grau 1901180127013601
Grado 11001200 1300 4001 Radianol/2 13/2 12 0 graus 0 grado 0 radianos Mudança de unidades Consideremos um arco AB de medida R em radianos, esta medida corresponde a G graus. A relação entre estas medidas é obtida pela seguinte proporção, 2 rad R rad . 360 graus G graus Assim, temos a igualdade R/2=G/360, ou ainda, R 1=1G1801 Exemplos Para determinar a medida em radianos de um arco de medida 60 graus, fazemos na nossa página sobreGeometna Plana: Ângulos[->l] Blibiografia: http://anamixa. tripod. com/id9. htmI http://pessoal. sercomtel. com. br/matematica/trigonom/trigool . htm 8