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COLTEC – UFMG Setor de Matemática orig to view nut*ge ANÁLISE COMBINATORIA Airton Carrião 0 30 andar. Sendo os conjuntos , a2, a3, .. ,am} e b2, bn}, deterine quantos elementos tem A e quantos elementos tem B. Quantos são os pares ordenados, do tipo (ai, bj) onde ai(A e bj(B, que podemos formar com os elementos destes conjuntos? PARTE II – Na final dos 100 metros rasos da Olimpíada de 96, oito atletas disputavam as três primeiras posições para obter uma medalha. De quantas maneiras diferentes era posslVel se organizar o podium com os três primeiros colocados?

Sendo o conjunto a2, quantos serão os pares rdenados, do tipo (ai, aj) onde ai , aj(A que poderemos formar com os elementos deste conjunto? E se [pic]? PARTE III – O almoxarifado de uma empresa adotou um código para classificar os produtos em estoque. O código é formado por uma letra do nosso alfabeto e três algarismos, sendo que o primeiro algarismo tem de ser par. Quantos são os diferentes códigos que eles poderão dispor? E se não for permitida a repetição? ENUNCIADO DO PRINCÍPI TAL DA CONTAGEM possíveis de cara e coroa? ) A turma M. 26 tem 19 alunos. Um deles será escolhido para ser representante de turma e outro para vice. Qual é o número de ossivels disposições das pessoas nas vagas? 3) De quantas maneiras podemos responder a 10 perguntas de um questionário, cujas respostas para cada pergunta são: sim ou 4) Chamamos de anagrama a um agrupamento de letras formado a partir de um conjunto de letras, tendo ou não sentido a palavra formada por esse agrupamento. Desta forma determine quantos são os anagramas formados com as letras da sigla UFMG. . PERMUTAÇÃO – Com um grupo de cinco alunos, de quantas maneiras distintas posso fazer uma fila com três alunos? Com quatro? E com cinco? – Sendo o conjunto , a2, a3,.. .. ,an}, quantas sequências istintas poderemos fazer com todos os seus elementos? Chamaremos de Permutação a todos agrupamentos de n elementos formados com os n elementos de um conjunto. O número de permutações será calculado como na questão acima, ou seja, Exercícios 5) Seis pessoas, sendo três homens e três mulheres, formam uma fila.

Verifique de quantas maneiras diferentes essa fila pode ser formada se: a) não houver qualquer restrição; b) as mulheres forem as rimeiras da fila; c) duas determinadas p e estiverem juntas; vogal; b) T e R aparecem juntas; c) começam com DE; Chamamos de Fatorial de um número o valor determinado pela expressão: .. 3. 2. 1 para n (2 EX. : 3! = 3. 2. 1 = 6 6! = 6. 5. 4. 3. 2. 1 – 720 Exercícios: 7) Simplifique as expressões abaixo: a) [pic] b) [pic] c) [pic] d) [pic] e) [pic] f) [pic] 3.

ARRANJO Resolva os problemas abaixo: – Em uma corrida com 12 participantes, de quantas maneiras distintas podemos ter as três primeiras colocações? E com n participantes? – Com n participantes de uantas maneiras poderíamos ter os quatro primeiros colocado imeiros colocados? Ou os haver repetição? 10) Num exame vestlbular os candldatos foram numerados de 001 a 1000. Quantos candidatos receberam números cujos algarismos são distintos? 4. COMBINAÇAO Em uma turma temos 4 alunos, de quantas maneiras distintas podemos obter grupos de dois alunos?

Descreva esses grupos. – E se dividíssemos em grupos de 3 alunos? Descreva esses grupos. -Se a turma tiver 12 alunos quantos grupos de 3 alunos podemos formar? Quantos grupos de 4 alunos? E quantos grupos de 8 alunos? – Se a turma tiver n alunos quantos grupos de 3 alunos podemos formar? Quantos grupos de 4 alunos? E quantos grupos de r alunos? pontos. Quantos triângulos podemos determinar com estes 16 pontos? 4) Quantas diagonais tem um octógono? 5) Sabendo-se que [pic], determine o valor de p.

VII – Resolva as questões abaixo: De quantas formas 3 pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa circular? E se forem 4 pessoas? E se forem 5 pessoas? – Determine agora de quantas formas n pessoas podem sentar- se ao redor de uma mesa circular? Chamamos de Permutação Circular a disposição dos elementos de um conjunto ao redor de um circulo. Para determinarmos o número de disposlçbes possíveis utilizamos a expressão determinada no exemplo acima: [pic]. VIII – Resolva as questões abaixo: – Quantos são os anagramas do nome ANA? Quantos são os anagramas das palavras NADA e VATAPA? Quantos são os anagramas das palavras ARARA e COLTECANO? Sendo o conjunto A={ al, 3, quantas figura. Ele só pode dar um passo de cada vez, para norte (N) ou para leste (L). Quantas trajetórias existem da origem ao ponto 3) Sabendo-se que a placa dos automóveis no Brasil é composta por três letras e quatro algarismos, calcule quantas placas diferentes existem levando-se em conta que não podem haver placas com todos os algarismos nulos.

IX -Resolva a seguinte questão 1) Quantas soluções (x, y, z), com {x, y, z}( possui a equação X+Y+z=7? Sugestão: indicando cada unidade pelo símbolo “(” , podemos indicar 2+1+4 por ((+(+((((; 3+0+4 por (((+ +((((; etc. Definição: O número de soluções inteiras não negativas da equação xl + x2 + +xn= r, onde re xi, para i = 1, 2, n, são inteiros positivos, é dada pela expressão: [pic] = [pic] 2) Num bar que vende três tipos de refrigerantes: Guaraná, Soda e Tônica. De quantas formas uma pessoas pode comprar 5 garrafas de refrigerantes? ) Temos duas urnas A e formas podemos colocar PAGF Ig vazios Al, A2, A3, Ak tais que: i)Ai(Aj=(, para todo 3, ii) Al (Ak=A Chamaremos de partição ordenada do conjunto A, à seqüência de conjuntos: (Al, A2, A3, Ak) E de partição não ordenada de A à família { Al, A2, A3, Ak} ) De quantas maneiras 15 pessoas podem ser divididas em 3 times, com 5 por time? E se os times tiverem os nomes pré- estabelecidos? 1a Lista de Exercícios Análise Combinatória 1) Quantas são as diagonais de um decágono? E de um polígono de n lados? ) Com S alunos da turma M35 e 6 alunos da turma M32, quantos são os grupos de 7 alunos que podemos formar com no mínimo 2 alunos da M35? 1) De quantas maneiras podem ser escolhidos 3 números naturais distintos, de 1 a 30, de modo que sua soma seja par? 1) Numa cidade, os números dos telefones têm 7 algansmos e não podem começar por 0. Os três primeiros constituem o prefixo. Sabendo-se que em todas as farmácias os quatro últimos dígitos são zero e o prefixo não tem dígitos repetidos , determine o número de telefones que podem ser instalados nas farmácias. ) Um homem possui em sua casa 4 coleções (matemática, física, química e história) com dez volumes numerados cada. Este homem deseja colocar 3 livros de cada coleção na estante de forma agrupada. De quantas maneiras distintas ele pode colocá- los na estante? 1) Quantos são os grupos que podem ser formados com os 33 alunos da turma M-37? 1) Considere os números obtidos do número 12345 efetuando-se todas as permutações de seus al M-37? 1) Considere os números obtidos do número 12345 efetuando- se todas as permutações de seus algarismos.

Colocando esses números em ordem crescente, qual o lugar ocupado pelo número 43521? 1) Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos possíveis poderá associar 6 dessas substâncias se, entre as dez, duas somente não podem ser misturadas porque produzem mistura explosiva? 1) Em um determinado jogo de baralho, todas as 52 cartas são distribuídas igualmente entre os 4 jogadores. Quantas são as possíveis distribuições das cartas? 1) Sabe-se que o número total de vértices de um dodecaedro egular é 20 e que as faces são pentágonos.

Quantas retas ligam dois vértices do dodecaedro não pertencentes à mesma face? 1) Dados 10 pontos do espaço, sendo que qualquer 4 deles nunca são coplanares, qual é o número de planos que podem ser obtidos passando por 3 quaisquer desses pontos? E se exatamente 6 pontos forem coplanares? 1) Numa congregação de 20 professores, 6 lecionam Matemática. De quantos modos podemos formar uma comissão de 5 pessoas, com pelo menos um professor de Matemática? 1) Qual é o número de maneiras distintas possíveis que dois alunos terão para escolher duas das cinquenta cadeiras de uma ala de aula? ) Quantos números de três algarismos, sem repetição, podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, incluindo sempre o algarismo 4? 1) Em uma reunião social haviam n pessoas; cada uma saudou as outras com um aperto de mão. Sabendo-se que houveram ao todo 65 apertos de mão, determine o número de pessoas qu de mão. Sabendo-se que houveram ao todo 66 apertos de mão, determine o número de pessoas que estavam na reunião? 1) Um conjunto tem k elementos. O número de seus subconjuntos de p elementos é 135, e o número de seus subconjuntos ordenados de p elementos distintos é 272. Determinar k e p. Uma embarcação deve ser tripulada por 8 homens, 2 dos quais só remam do lado direito e 1 apenas do lado esquerdo. De quantos modos podemos formar uma tripulação, se de cada lado devemos ter 4 tripulantes? ( a ordem dos tripulantes em cada lado distingue as tripulações. ) 1) Na festa de formatura, como uma enorme honraria, 4 alunos dos 23 da turma M-36, serão escolhidos para ter o enorme prazer de sentarem a mesa circular do professor Airton. De quantas maneiras distintas estas 5 pessoas poderão se sentar à mesa? 1) O “grande” professor Tonhao pede que se monte um grupo de trabalho de 6 alunos, dos 27 da M36.

Sabendo-se que o Israel não trabalha em grupos que tenham mulheres (as acha pouco inteligentes) e elas são em número de 17, de quantas maneiras distintas tal grupo pode ser montado? 2a Lista de Exercícios 1) São dados 12 pontos em um plano, dos quais 5 e somente 5 estão alinhados. Quantos triângulos distintos podem ser formados com vértices em três quaisquer dos 12 pontos? 2) Quantos anagramas podemos fazer com a palavra PARANAPIACABA? Quantos começam com P e terminam com A? Em quantos aparece a palavra PIABA? 3) De quantas maneiras podemos colocar 10 pessoas em uma fila, sendo que temos 6 homens e 4 mulheres e que a fila terá: