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CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA CAPÍTULO 1 VETORES A noção de vetor, que muitos matemáticos e físicos, já discutiam há muito tempo atrás, sua formalização com a Teoria do Cálculo Vetorial, é algo recente datado próximo ao final do século XIV e início do século XX. Seu desenvolvimento da álgebra vetorial e da análise vetorial como foi revelado primeira feitos por J. WillardG s Sv. içx to view next*ge para seus alunos na Haven, Connecticut ( de notas de aula bs nasceu em New professor em Yale) e suas conquistas cient cas principais foram em física, termodinâmica propriamente dita.

Maxwell apoiava o trabalho de Gibbs em termodinâmica, especialmente as apresentações geométricas dos resultados de Gibbs e concluiu que vetores forneceriam uma ferramenta mais eficiente para seu trabalho em física. Assim, começando em 1881, Glbbs imprimiu por conta própria notas de aulas sobre análise vetorial para seus alunos, as quais foram amplamente distribuídas para estudiosos nos Estados Unidos, na Inglaterra e na Europa. Ao introduzir as teorias de Maxwell sobre eletricidade e magnetismo na Alemanha (1894), os métodos vetoriais foram defendidos e vários livros sobre análise vetorial em alemão se eguiram.

Os métodos vetoriais fora foram introduzidos na Itália (1887, 1888, 1897), na Rússia (1907) e Holanda (1903). Vetores agora são a linguagem moderna de grande parte da fisica e da matemática aplicada e continuam tendo seu próprio interesse matemático intrínseco. 1 Grandeza Escalar e Grandeza Vetorial Na natureza encontramos dois tipos de grandezas (ffsicas): as grandezas escalares e as grandezas vetoriais. Para se operar com as grandezas escalares são utilizadas as mesmas operações definidas no conjunto dos números reais.

Para operar com grandezas vetoriais são necessárias outras operações e utras definições, também chamado de Cálculo Vetorial. Grandeza Escalar: É toda grandeza que para estar bem definida é necessario caracterizar seu módulo (quantidade) e uma unidade de medida. Exemplos de grandezas escalares: 1) Massa: Se estamos interessados em dizer qual é a massa de um determinado corpo, basta dizer, por exemplo: um corpo com massa de 75 kg, onde, 75 é o módulo da grandeza e kg (quilograma) é a unidade de medida. ) Temperatura: Para você informar sobre a temperatura de um determinado ambiente, basta dizer, por exemplo: a temperatura do ambiente é de 36 oc, onde, 6 é o módulo da grandeza e oc (grau Celsius) a unidade de medida. Grandeza Vetorial: É toda para estar bem definida é caracterizar seu módulo e uma unidade de medida, direção e sentido. 2 Exemplos de grandezas vetoriais: 1) Força: Quando uma força é aplicada em um corpo, ela é aplicada com certa intensidade (seu módulo), numa determinada direção e num determinado sentido. Por exemplo: uma força de intensidade 20 N (Newtons), na direção horizontal com sentido para direita. 0N 2) Velocidade: A velocidade indica movimento de um corpo, assim, se um corpo possui uma velocidade diferente de zero, este corpo está se eslocando com certa velocidade, numa determinada direção e num determinado sentido. Por exemplo: uma velocidade de 12m/s (metros por segundo), numa dlreção vertical com sentido para cma. 12 m/s 2 Vetor Definição: um segmento orientado é um par ordenado (AB) de pontos do espaço e representado pela “flecha” com abaixo. O ponto A (inicio da flecha) é a origem e B (a “ponta” ou “seta” da flecha) é a extremidade. um segmento orientado do tipo (AA) é chamado segmento orientado nulo.

B que é definido como sendo do tamanho do segmento geométrico (b) direção: é a reta suporte que sustenta o segmento orientado A,B), ou seja, se prolongarmos o segmento orientado além da sua origem e da sua extremidade através de uma reta tracejada, a reta obtida indica sua direção. (c) sentido: o sentido do segmento orientado (A,B) é indicado pela “seta” da flecha que o representa. AB :módulo “seta”: sentido de (A,B) reta suporte: direção de Definição: (a) Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são de mesmo comprimento se os segmentos geométricos AB e CD têm comprimentos iguais. b) Os segmentos orientados (A,g) e (C,D), não nulos, são paralelos se eles tem a mesma direção, ou seja, se as retas suportes de ambos são paralelas. Considere os vetores abaixo e note que, conforme as definições acima temos: D 16 mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido. Indica-se a equipolência entre (AB) e (C,D) por: OBS: Decorre da definição que: (a) se ambos os segmentos forem nulos então eles são equipolentes; (b) equipolente a um segmento orientado nulo, somente outro segmento orientado nulo.

Proposição: A relação de equipolência é uma relação de equivalência, ou seja, quaisquer que sejam os segmentos orientados (A,B), (C,D) e (E,F): (Propriedade Reflexiva) (Propriedade Simétrica) (Propriedade ransitiva) Proposição: Considere segmentos rientados verdade, essa duas classes coincidem, pois quem for equipolente a (C,D) será equipolente a (A,B), e vice-versa, pela propriedade transitiva; (c) Qualquer segmento pertencente a uma classe de equipolência pode ser o seu representante. Definição: um vetor é uma classe de equipolência de segmentos orientados.

Se (A,B) é um segmento orientado, o vetor que tem (A,B) como representante será indicado por AB ou simplesmente por uma letra minúscula, por exemplo v . Logo, AB=v. OBS: Deve estar claro que, se os segmentos orientados (A,B) e (C,D) São equipolentes, então os vetores AB e CD são iguais. Cuidado para não usar a expressão “vetores equipolentes”, pois a equipolência é uma relação entre segmentos orientados, não entre vetores; Portanto, o vetor Ag v , com um significado geométrico, nada mais é que um objeto matemático representado por um segmento orientado.

Assim, o vetor v , tem o ponto A como origem e 3 é sua extremidade. Outras notações são usadas para orv , como: AB (sempre a seu módulo, direção e sentido. Como estamos representando o vetor por um segmento orientado, essas noções já foram introduzldas. Então: Módulo: é o tamanho do vetor, ou seja, o comprimento do A,B), e será denotado por lv I -v AB l. Direção: é a reta suporte que sustenta o vetor. reta suporte que indica a direção do vetor Sentido: é indicado pela seta do segmento orientado. entido do vetor 6 Uma particularidade entre os vetores, e muito importante, é que vetores paralelos têm a mesma direção, assim como os segmentos orientados que os representam. Na figura abaixo, os vetores têm a mesma direção (são paralelos), têm módulos (tamanhos) diferentes, a e c têm o mesmo sentido e b tem sentido oposto dos vetores a e c b 3. 1 Adição: Considere os vetores u ev , cuja soma u + v , é eterminada da seguinte forma: Adotar um ponto A qualquer e, com origem nele, traçar o segmento orientado (A,B) que representa o vetor u = AB .

Utilizar a extremidade B para traçar o segmento orientado (B,C) que representa o vetor v = BC . O vetor representado pelo segmento orientado (A,C) é, por definição, o vetor soma de u com v, isto é, = AC , oU seja, AB + = AC. c PAGF vetor u traçamos uma reta paralela ao vetor v e, pela do vetor v traçamos uma reta paralela ao vetor u . Estas duas retas se interceptam num ponto O’. A figura obtida é um paralelogramo, cuja diagonal determinada pelos ontos 00′ é o vetor soma u + v = 00′ . u + v = 00 o Propriedades da Adição. ) Comutativa: u + v = v+u v+u OBS: Dados dois vetores u e v , vamos determinar adição u + v e a subtração u —v , usando o método do paralelogramo. v u+v Assim, dados dois vetores qualsquer, não paralelos, eles determinam um paralelogramo onde uma diagonal é u + v e a outra u —v . Isso é muito útil na resolução de problemas. 3. 3 Multiplicação por Escalar: Sejam qualquer vetor v e a Então a multiplicação do número real a pelo vetor v , denotado por a v , ou simplesmente por av, é um vetor que s