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Exerce Icios – S’ ries Num ‘ricas ee 1. Estude a natureza das s • ries seguintes e, no caso de estas serem convergentes, calcule o e valor das suas somas. — Sin ; n n+ 2+3 -4+5 b) 3-(5n+1) ; 2n + 3n ; 6 n=O n n c) sin d) 1 ; 2+2nn f) p 2. Indique, justificando, os valores de x para os quais s -o convergentes as s ries seguintes. a e natureza das s • ries. e a ee a) 2n (2n)! ; nn 2. 4… (2n + 2) 1 . 3… (2n + 3) n=l 1. 3… (2n + 1) 4. 8.. 6. Use o crit ‘ rio da Raiz ou o crit ‘ rio da Raiz de Cauchy para determinar a natureza da e e s • rie. e 11+22 e) h) 32n-1 1 ; n(n + 3) j) (-1)n 2-2n +3 2 ; An’lise Matem ‘tica (II) aa .

Determine a natureza das seguintes s ‘ ries: e 3 log(n) (IXI —e)n . en n2 2. Determine o intervalo de converg- ncia das seguintes s’ ries de pot-ncias e estude a sua e e e natureza nos extremos (quando existam) desse intervalo: xnv’ ; n (x c) 2) – -J; n (x 3)2n l)4n 1 * 2n nx; ; 2r12 xn ; nn n(x— ; 2n (3n — 1) log n n x; n3 4 ea n+l a) Determine o raio de converg”ncia da s’ rie. ee b) Estude a natureza da s’ rie ‘ nos extremos do seu intervalo de converg- ncia . e e e c) Justifique que existe um unico valor de c para o qual a s’ rie ‘ simplesmente convergente e e no ponto x = —3, e determine-o. . Desenvolva em s” rie de pota ncias de x a fun. -o f (x) = x3 sin(x), indicando para que e e ca valores de x o desenvolvimento ‘ W lido. Recorrendo ao desenvolvimento obtido, diga o e a valor de f (12) (O) e f (13) 7. Escreva o desenvolvimento em s’ rie de MacLaurin da fun,-o f (x) = 3x + e ca o conjunto em que este desenvolvimento ‘ v’ lido . e a 8. Escreva o desenvolvimento em s • ne de Taylor da funa-o f (x) = e ca 1 em torno do — 2x — 3 ponto 2, indicando em que conjunto este desenvolvimento • v’ lido. e a x2 x3 , indicando o conjunto em que este (1 -x)21 . dique 3 + 5x 9. Desenvolva em s’ rie de Macl_aurin a fun,-o e ca esenvolvimento • v’ lido. e a 6 An ‘lise Matem • tica (II) aa 10. Use o desenvolvimento da fun,-o log(x — 1) em s’ rie de pot-ncias de x- 2 para obter o ca ee 1 valor de log como soma de uma s rie. e 2 11. Considere a fun,-o f (x) = xe2x ca a) Desenvolva f em s ‘ rie de MacLaurin e indique os val S s rie. e 2 11. Considere a funa-o f (x) = xe2x ca a) Desenvolva f em s’ rie de Macl_aurin e indique os valores de x para os quais o desene volvimento • v” lido. a b) Recorrendo s’ rie das derivadas da s’ rie obtida na al’ ae e Inea anterior, calcule a soma da n 4 (n + 1) s • rie: e n! n=0 12. Considere a fun. -o f (x) = ca x3 1-x2 ) Estude e represente graficamente f (x). b) Desenvolva f (x) em s nes de pot- ncias de x. Deduza o termo geral, o intervalo de e e converg- ncia e o valor de f (4) (O). e 13. Desenvolva em s’ rie de Taylor, na vizinhan,a do ponto indicado, as fun,-es seguintes: e c a) f (x) = log x, no ponto a 1; c) f (x) = x2 ex , no ponto a = O; —1 , no ponto a = —1; x —2 , no ponto a = O; (x + + 2) 14. ) Determine o raio de converg- ncia da s • rie de pot ncias e e (x – l)n n -lx e, indique, 3n n n=l justificando, em que postos a s • ne converge absolutamente e em que pontos converge e simplesmente. (x— n v’ x no conjunto de todos os 3n n ontos em que a s’ rie ‘ convergente, calcule g(l) e g (1) e escreva a s’ rie de Taylor no e ee b) Supondo que a fun,-og ‘ definida por g(x) — ca e 7 An’ lise Matem ‘tica ( b) Supondo que a fun,-o g definida por g(x) — ca e ponto x = 1 da fun. ox+ g ca 15. Seja f (x) – Desenvolva em s’ rie de pot ncias de x a funs-o xf (x), indicando o intervalo de cone e ca verg- ncia da s’ rie. e e b) Utilize o resultado da al’ Inea anterior para provar que 16. a) Escreva o desenvolvimento de ex em s’ rie de Macl_aurin e b) Utilize a al’ Inea a) para calcular a soma da s’ rie e 33+n2n n! 2 17. Seja fa fun. -o definida pela rela. -o ca ca