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Faculdade Anhanguera de Jundiaí Engenharia Mecânica – Ciclo Básico Algebra Linear ATPS: Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares Maria Isabel Bianchi Jundiaí 04. 04. 2011 Matrizes formam um importante conceito matemático, de especial uso no estudo de transformações lineares. Não é o propósito desta página a teoria dessas transformações, mas apenas alguns fundamentos e operações básicas com matrizes que as representam. OF8 W. p view nent page uma matriz Amin po ser (m multiplicado por n linhas e n colunas ed m conjunto de mim ispostos em m conforme acima indicado.

Segue exemplo de uma matriz 2×3: Rigorosamente, uma matriz Amin é definida como uma função cujo domínio é o conjunto de todos os pares de números inteiros (i, j) tais que 1 Sisme 1 s j n. E os valores que a função pode assumir são dados pelos elementos aij. Adição e subtração Essa operação só pode ser feita com matrizes de mesmo número de linhas e mesmo número de colunas. Sejam duas matrizes Amin e Bmxn. Então a matriz R B é uma matriz mim tal que cada elemento de R é dado todos os elementos da matriz são multiplicados pelo escalar.

Se Amin é uma matriz qualquer e c é um escalar qualquer, P – c Aé uma matriz mim tal que pij = c aij Exemplo a seguir. Algumas propriedades das operações de adição e de multiplicação por escalar Sejam as matrizes A e B, ambas mim, e os escalares a e b. Se aA = aB, então A B I I Matrizes nulas, quadradas, unitárias, diagonais e simétricas uma matriz mim é dita matriz nula se todos os elementos são iguais a zero. Geralmente simbolizada por Ornxn. Assim, Oi] = O Exemplo: Matriz quadrada é a matriz cujo número de linhas é igual ao de colunas. Portanto, se Amin é quadrada, m = n.

Exemplo: Matriz unitária In (ou matriz identidade) é uma matriz quadrada xn tal que Iij=l se lij = O se i Exemplo: Uma matriz quadrada Anxn é dita matriz diagonal se aij = 0 para i Exemplo: A matriz unitária é, portant -z diagonal com os segunda O produto C AB é uma matriz mim (Cmxn) tal que cij = Ek-l,p aik bkj Exemplo: No exemplo acima, os cálculos são: *0. 2 *5. 1-9 C12 = 4. 2 + 0. 5 + 5. 0 = 8 c21 = 1. 1 + = 6 1. 2+ 1. 5+3. 0-7 Na linguagem prática, pode-se dizer que se toma a primeira linha de A e se multiplica pela primeira coluna de B (a soma é a primeira linha e primeira coluna da matriz do produto).

Depois, a primeira linha de A pela segunda coluna de B. Depois, a segunda linha de A pela primeira coluna de B e assim sucessivamente. Ordem dos fatores Notar que, segundo a definição anterior de produto, só é possivel calcular AB e BA se A e B são matrizes quadradas. Entretanto, na multiplicação de matrizes, a ordem dos fatores não é indiferente. Em geral, AB * BA. Exemplos a seguir. Isso significa que nem sempre ocorre a propriedade comutativa. Se AB = BA, as matrizes A e B são denominadas comutativas. Algumas propriedades do produto de matrizes Sejam as matrizes A, B e C.

Se os produtos A (BC) e (AB) C são possíveis de cálculo, então A Se os produtos AC e BC são possíveis, então I (A + B) C se os produtos CA e CB sa ntao I c (A + B) -CA+ 3 Se Ip é a matriz unitária pxp, I Ip Apxn = Apxn I Se Ip é a matriz unitária pxp, I Brnxp Ip = Bmxp Potências de matrizes Seja A uma matriz quadrada e n um inteiro . As relações básicas de potências são: AO = I An = A An—l I Transposição de matrizes Seja uma matriz Amin. A matriz transposta de A, usualmente simbolizada por AT, é uma matriz nxm tal que aTiJ = aji para 1 si s nel sjsm Na prática, as linhas de uma são as colunas da outra.

Exemplo: Algumas propriedades da transposição de matrizes kA)T = k AT Se A AT, então A é simétrica det(AT) = det(A) Matriz inversa Seja A uma matriz quadrada. A matriz inversa de A, usualmente simbolizada por A-1, é uma matriz também quadrada tal que Ou Seia, o produto de amb 4DF8 unitária (ou matriz Matriz ortogonal é uma matriz quadrada cuja transposta é igual á sua Inversa. Portanto, A AT ATA = I se Aé ortogonal. Determinando a matriz inversa Neste tópico são dados os passos para a determinação da matriz inversa pelo método de Gauss-Jordan.

Seja a matriz abaixo, cuja inversa se deseja saber. O primeiro passo é acrescentar uma matriz unitária no lado direito: O objetivo é somar ou subtrair linhas multiplicadas por escalares de forma a obter a matriz unitária no lado esquerdo. Notar que esses escalares nao são elementos da matriz. Devem ser escolhidos de acordo com o resultado desejado. 1a linha = 1a linha + linha multiplicada por —1 . Com essa operação, consegue-se 1 no elemento 11 (primeira linha, primeira coluna) da matriz esquerda. Os elementos 12 e 13 tornaram-se nulos, mas é apenas uma coincidência.

Em geral isso não ocorre logo na primeira operação. 2a linha = 2a linha + linha multiplicada por —1 . 3a linha = 3a linha + 1 • linha multiplicada por —2. Com as operações acima, os elementos 21 e 22 tornaram-se nulos, formando a primeir atriz unitária. multiplicada por —1 . Multiplicação executada para fazer 1 no elemento 33 da matriz esquerda. 2a linha = 2a linha + 32 linha multiplicada por —1 . Essa operação forma a terceira e última coluna da desejada matriz identidade no lado esquerdo. E a matriz inversa é a parte da direita: É claro que há outros métodos para a finalidade.

Para matrizes 2×2, uma fórmula rápida é dada a seguir (det = determinante. Ver próxima página). O método de Gauss-Jordan pode ser usado também para resolver m sistema de equações lineares. Nesse caso, a matriz inicial é a matriz dos coeficientes e a matriz a acrescentar é a matriz dos termos independentes (de uma coluna). Seja, por exemplo, o seguinte sistema de equações: Monta-se a matriz: Usando procedimento similar ao anterior, obtém-se a matriz unitária no lado esquerdo. E a solução do sistema é: x-124 Y = 75 z = 31 Determinante é uma função que associa um escalar a uma matriz quadrada. ? um importante conceito matemático, usado, por exemplo, na solução de sistemas de equações lineares. Símbolos e determinantes rdem a matriz, com a substituição dos colchetes por barras verticais. Seja, por exemplo, uma matriz 2×2, A seguir, os s[mbolos mencionados e a operação aritmética que define o determinante da matriz. O determinante acima é de segunda ordem, em razão da dimensão da matriz. Determinantes de ordens superiores Determinantes de terceira ordem ou superior podem ser calculados por decomposição. Seja uma matriz genérica 3×3: Considera-se, por exemplo, a primeira linha da matriz.

Cada elemento dessa linha é multiplicado pelo determinante da matriz que restar pela eliminação da linha e da coluna que assam pelo elemento. E o determinante da matriz 3×3 é a soma dessas parcelas, considerando sinal positivo para coluna ímpar e negativo para coluna par. Na operação acima, os determinantes de segunda ordem são calculados de acordo com fórmula do tópico anterior. Com a aplicação desse procedimento em cascata, determinantes de quaisquer ordens podem ser calculados. Algumas propriedades dos determinantes #A. I# Mantidas as ordens dos elementos, um determinante não se altera se linhas e colunas são trocadas.

Se duas linhas ou duas colunas são trocadas entre si, o eterminante muda de sinal. I #C. I# Se os elementos de duas linhas ou colunas são iguais linha ou coluna é nula, o entre si, proporcionais ent entre si, proporcionais entre si ou uma linha ou coluna é nula, o determinante é nulo (k é um número qualquer). #D. I# Se os elementos de uma mesma linha ou coluna têm um fator de multiplicação comum, ele pode ser colocado em evidência. I Um determinante não se altera se, aos elementos de uma linha ou coluna, são somados ou ‘subtraídos os elementos (ou múltiplos deles) de outra linha ou coluna.

I det(A B) = det(A) det(B) et(kln) = kn- Portanto, det(kA) = kn det(A), onde A é uma matriz nxn I 41. 14 | det(AT) = det(A) I Determinantes e equações lineares Determinantes podem ser usados para resolver sistemas de equações lineares. Seja, como exemplo, um sistema de 3 equações e 3 incógnitas: Em termos de matrizes, ele pode ser escrito como A X = B. Ou na forma expandida: A: matriz dos coeficientes. X: matriz das incógnitas. 3: matriz dos termos independentes. As matrizes Al, A2 e A3 são formadas pela substituição, na matriz A, da primeira, segunda e terceira colunas pela coluna da matriz 3. xl – det(A)I 8