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FACULDADE ANHANGUERA DE TAUBATÉ Engenharia de Produção Mecânica MATRIZES “E suas Definições” TAUBATÉ – sp 2012 Ana Paula Trigo – RA 3715642283 José Francisco da Silva Neto – RA 3729703387 Mayk Vinícius Meyrelles Costa — ra 3226007302 “E suas definições” 1 a etapa da ATPS apr crs Swipe to page aura como parte da avaliação da disciplina de Algebra da turma do 10 3 do Curso Engenharia de Produção Mecânica da Faculdade Anhanguera – Unidade Taubaté 2. elementos da matriz podem estar indexados a partir de 1 (Fortran, MATLAB, R, etc) ou a partir de O (C e seus dialetos).
Por exemplo, o elemento , 1) em Fortran corresponde ao elemento em C. Matriz quadrada Uma matriz é dita quadrada se tem o mesmo número de linhas e colunas, ou seja, quando podemos dizer que, m tem a mesma quantidade de elementos que n. Numa matriz quadrada A de ordem n x n, chama-se de diagonal principal os elementos aij onde i j, para i de 1 a n. propriedades Tipo de matriz I é quadrada? I Tem inversa? Qual é sua transposta? I positiva/ negativa definida? Matriz identidade In Sempre I Sim, ela mesma: In Ela mesma, In (é uma matriz simétrica) I Sempre é positiva definida
Matriz inversa Sempre Sim, e é igual à matriz original, Positiva definida se B for positiva definida I Matriz singular I Sempre Nunca I I Matriz simétrica Sempre I Não necessariamente I Negativa definida se e apenas se todos os valores característicos de D forem negativos [1] Matriz transposta Et Não necessariamente Não necessariamente I Matriz positiva definida F I Sempre I Sim, e F-l também é positiva definida I Ft I Sempre é positiva definida Matriz negativa definida G Sempre I Sim, e G-l também é negativa definida[l] Matriz identidade Gt I Sempre é negativa definida I
A matriz identidade In é a matriz quadr negativa definida A matriz identidade In é a matriz quadrada n x n em que todas as entradas da diagonal principal são iguais a 1 e as demais são iguais a zero, por exemplo Ela é chamada de matriz identidade pois multiplicá-la por outra matriz não altera a matriz: Mln lmM M para qualquer matriz M de ordem m por n. Matriz inversa Uma matriz é dita inversa de uma matriz A, se obedece ? equação matricial , ou seja, se o produto entre as matrizes é a matriz identidade.
A analogia com os números reais é evidente, pois assim como o produto entre dois numeros inversos é a nidade (elemento neutro da multiplicação), o produto entre duas matrizes inversas é a matriz identidade (elemento neutro da multiplicação entre matrizes). Uma matriz que possui inversa é dita inversfi,’el. A condlção necessária e suficiente para que uma matriz quadrada seja inversível é possuir um determinante não nulo, sendo que para uma dada matriz A, a matriz inversa é única.
A necessidade de possuir determinante não nulo é evidente na equação Matriz simetrica , pois nela o determinante da matriz original é denominador de uma fração. Matriz transposta A matriz transposta de uma matriz Am x n é a matriz Atn x m em que , ou seja, todos os elementos da primeira linha, tornar-se-ão elementos da primeira coluna, todos os elementos da segunda linha, tornar-se-ão elementos da segunda coluna, todos os elementos da n linha, tornar-s elementos da n linha, tornar-se-ão elementos da n coluna.
Exemplo: Uma matriz A é smétrica se A = At. Isso só ocorre com matrizes quadradas. Um tipo especial de matriz simétrica é a matriz idempotente. Matriz positiva/negativa (semi)definida A classificação de uma matriz em positiva ou negativa definida u semi-definida é similar à classificação dos números reais em positivos ou negativos. Seja M uma matriz quadrada de dimensão nXn e z um vetor não nulo (ou seja, que tenha pelo menos um elemento diferente de zero) de dimensão nX1 . Note que se n=l, temos a definição de número real positivo ou negativo.
Tipo de matriz Semi-definidal Definida Positiva M positiva semidefinida se I M é positiva definida se Negativa I M é negativa semidefinida se [1] Mé negativa definida se Operações envolvendo matrizes Não se define adição ou subtração de um número com uma matriz, e nem divisões envolvendo matrizes. Multiplicação por um escalar A multiplicação por um escalar é uma das operações mais simples que podem ser feitas com matrizes. Para multiplicar um número k qualquer por uma matriz nxm A, basta multiplicar cada entrada aij de A por k.
Assim, a matriz resultante B será também nxm e bij = k. aij. Com isso, pode-se pensar também na noção de dividir uma matriz por um número: basta multiplicá-la pelo inverso desse número. Mas essa noção pode ser perigosa: enquan um número: basta multiplicá-la pelo inverso desse numero. Mas essa noção pode ser perigosa: enquanto a multiplicação entre um úmero e uma matriz pode ser dita “comutativa”, o mesmo não vale para a dlvisão, POIS não se pode dividir um número por uma matriz. or exemplo: Adição e subtração entre matrizes Dado as matrizes A e B do tipo m por n, sua soma A + B é a matriz m por n computada adicionando os elementos correspondentes: Por exemplo. Para melhorar a forma de calcular, você pode reescrever a segunda matriz, revertendo seus elementos, onde o elemento (-1) passará para (1) e o elemento (2) passará para (-2) e assim sucessivamente. Após feito isso, além de fazer A-g, você usará Lembre-se: Você só pode fazer isso com Matriz negativa, onde recebe o sinal negativo, por exemplo: em -A+B, o A que poderá ser reescrito.
Multiplicação de matrizes Multiplicação de duas matrizes é bem definida apenas se o número de colunas da matriz da esquerda é o mesmo número de linhas da matriz da direita. Se A é uma matriz m por n e B é uma matriz n por p, então seu produto AB é a matriz m por p (m linhas e p colunas) dada por: para cada pari e j. É importante notar que a comutatividade não é garantida; isto é, dadas as matrizes A e 3 com seu produto definido, então geralmente AB * BA.