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de prédios cada vez mais altos e com arquiteturas modernas. Esse é um tema que interessa muito indústrias que possuem seus prédios comerciais próximos a suas fabricas, pois esses prédios são afetados pela vibração proveniente das maquinas das fabricas. Em alguns casos essa vibração pode ser muito incomoda e trazer transtornos. Neste trabalho abordaremos assuntos como a determinação da frequência natural de uma estrutura com dois graus de liberdade, e como é possível diminuir essa vibração.

Na obtenção das equações de movimento para o sistema massa- mola-amortecetor de 2 graus de liberdade, o modelo utilizado lal Studia Analise de vibracao para uma estrutura com 2 graus de liberdade Premium By radar I vapTa 18, 2011 10 pages ANÁLISE DE VIBRAÇÕES PARA UMA ESTRUTURA DO TIPO FRAME COM DOIS GRAUS DE LIBERDADE Edmundo Sahd Neto, esneto@gmail. com 1 Igor Rafael Silva Bernardinelli, igorbernardinelli@hotmail. coml Rafael Delapria Dias dos Santos, radar_navirai@hotmail. coml Bruno Horácio Begnini, bruno. horacio@hotmail. coml 1 Universidade Estadual do Oeste do Paraná, Centro de Engenharias e Ciências Exatas (CECÉ), Av.

Tancredo Neves n. 0 6731, parque Tecnológico Itaipu (PTI), CEP 85. 856-970, FOZ do Iguaçu, Paraná, Brasil, e-mails:bruno. horacio@hotmail. com, esneto@gmail. comigorbernardinelli@hotmail. com, to nut radar_navirai@hotma Resumo:As novas tec vibrações e métodos mais estudado no m barreiras nas constru 0 Iog wipe view next page amo re modos de sendo cada vez rtante para quebrar mplo, projetos tem como base a equação de Lagrange e a Segunda lei de Newton com condições iniciais apropriadas, a solução numérica destas equações foi realizada manualmente e nossos resultados são obtidos a partir do Scilab-Xcos.

Os resultados obtidos satisfazem as condições de estabilidade e é factível ara aplicações práticas, pois os resultados obtidos comparam adequadamente com os dados analíticos, numéricos e experimentais encontrados na literatura, comprovando que os resultados eram os esperados realmente.

Palavras-chaves: Vibração, graus de liberdade, amortecimento, frequência natural. Introdução As vibrações de natureza mecânicas são fenômenos constantemente presentes em todos os setores da sociedade e suas manifestações ocorrem frequentemente indo desde um leve incomodo ao dirigir por ruas esburacadas até o colapso de grandes estruturas durante terremotos.

Neste nosso trabalho remos tratar de um problema frequente que é uma estrutura que apresenta formato de um prédio de dois andares submetida a duas forças Fl e F2 em suas Lajes que apresentam massa ml e m2, coeficientes de rigidez kl e k2 e coeficientes de amortecimento cl e c2, o presente trabalho constará o modelo matemático desta estrutura efetuado no Scilab-Xcos através do (diagrama de blocos), onde poderemos constatar a função de resposta em freqüência do nosso sistema onde observaremos que a 19Hz irá ocorrer ressonância, vamos observar neste alguns conceitos como o comportamento dinâmico do sistema para inimização da vibração induzida pelo piso, tambem com uma vibração 20F 10 comportamento dinâmico do sistema para minimização da vibração induzida pelo piso, também com uma vibração gaussiana como a resposta à excitação com um pulso senoidal, demonstraremos estes na frequência de ressonância e na frequência de 5Hz inferior a esta buscando comparar os comportamenos. Conceitos básicos sobre o Concreto Armado O concreto armado Estruturas em concreto armado são muito comuns em nossa sociedade. Estas estruturas surgiram da necessidade de agregar resistência tanto a tração quanto à torção em estruturas e concreto. Estas estruturas são criadas a partir de uma armação metálica que é formada por vergalhões dispostos transversalmente e longitudinalmente que quando devidamente ligados entre si formam a armadura. Uma vez preparada ? armadura ela é envolvida por uma forma e então o concreto é despejado.

Após um período de aproximadamente vinte e oito dias conhecido como período de cura do concreto, a estrutura alcança sua resistência máxima. Segundo a NBR 6118, o módulo de elasticidade do concreto deve ser obtido através de ensaios realizados em corpos de prova. Na ausência de dados mais específicos sobre os testes, é possível estimas o módulo de elasticidade através da expressão Onde: fck:Resistência característica à compressão do concreto Eci : Módulo de elasticidade Para a análise elástica é preciso utilizar o módulo de elasticidade secante, dado pela equação 2. 30F 10 utilizar o módulo de elasticidade secante, dado pela equação 2.

Onde Ecs : Módulo de elasticidade secante Determinação da Massa e dos Coeficientes de Rigidez e Amortecimento em Estruturas de Concreto Armado Os pilares (ou as colunas) presentes em estruturas de dif[cios podem ser modelados como uma combinação mola amortecedor. Sendo assim, ela possui um coeficiente de rigidez (k) e um coeficiente de amortecimento Para a modelagem da viga que será considerada como mola onde a equação 3 será utilizada para determinar seu coeficiente de rigidez (k). K=3ElL3 K:Coeficiente de rigidez do pilar E : Módulo de elasticidade ecomprimento da coluna Já o coeficiente de amortecimento(c) é obtido através da equação eqx, cujo fator de amortecimento (C) é obtido através da Tabela c=2Qmwn TABELA [1 – COEFICIENTE DE AMORTECIMENTO PARA ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO

Stress Level Type and Condition of structure Dampng Ratio Working stress, no more thanlh ield prestressed concrete, well AGE 4 0 oint Welded steel, ncrete (only slight Prestressed concrete with no prestress left | 7-10 Reinforced concrete 7-10 | Bolted and/or riveted steel, wood structures with bolted j0ints | 10-15 | Bolted structures with nalled joints 15-20 Fonte: CHOPRA (1995) Modelagem do problema proposto O trabalho proposto consiste na modelagem matemática e análise da resposta a vibração de um pórtico com dois graus de liberdade que representa uma pequena edificação em concreto rmado, representado na figura 1. Figura [ 1 ] – Modelo proposto para simulação com dois graus de liberdade Aplicando o diagrama de corpo ivre para o sistema, identificam- se as forças envolvidas como visto na figura 2.

As forças de amortecimento, inércia e de rigidez são representadas respectivamente por fc , finercia e fk, permitindo então a aplicação do principio de D ‘ Alambert que resulta nas equações 5 Figura [2] – Diagrama de corpo livre para o primeiro e o segundo piso Este diagrama pode ser colocado em uma forma mais simples através de um sistema massa- mola-amortecedor como bservado na figura 3. Figura [ 3] – Sistema massa-mola-amortecedor Este sistema é composto por dois pavimentos, aqui representados na figura 3 pelas massa ml e m2 que estão unidas através de dois pilares, representados pelas constantes de rigidez e amortecimento ki e ci res ectivamente. O conjunto é também submetido a um deslocam u(t) . Este sistema 0 diagrama de corpo livre visto na figura 4. Figura [4] – Diagrama de corpo livre para o sistema proposto -m2x2+c2x1-c2x2+k2x1-k2x2-f2=o Isolando as equações para as acelerações xl e x2 é possivel então modelar o sistema no Xcos. l +k2mnx1 2m2+c2m2x1-c2m2x2+k2m2x 1-k2m2x2 Porém, antes de modelar o sistema no Xcos é interessante determinar a Função de Reposta em Freqüência do Sistema (FRF). Função de Resposta em Freqüência do Sistema (FRF) A função em resposta em freqüência é determinada a partir da função de transferência do sistema. Uma vez conhecida a FRF é possível determinar o ganho em amplitude da vibração em função da frequência de excitação. Considerando as condições iniciais de velocidade e aceleração nulas, e aplicando a transformada de Laplace nas equações 5 e 6, obtemos o seguinte sistema linear. l. s2+c1 +c2 (kl+k2)-c2. s-k1-c2. s- kl m 1. s2+c2. s+k1 . XI Como kl = k2=k e cl =c2=c então, m 1. s2+2. c+2. k-c. s-k-c. s-km1. s2+c. s+k.

X1 (10) 6 0 sistema, onde H(S)=X(s)/F(S). XI . s2+c. s+k. m. s3. c-3. m. s2. k-2. c. m. s2-2. c2. s. -2. c. k-k2+c2. s2-c. s+k. F(3-m2. s4- m. s3. c-3. m. s2. k-2. c. m. s2-2. czs. -2. c. k-k2+Q. s2 (11) Hl s=-m . s2+c. s+k-m2. s4-m . s3. c-3. m. s2. k-2. c. m. s2-2. c2. s. -2. c. k- k2+Q. s2 (13) H2s=-c. s+k-m2. s4-m . s3. c-3. m. s2. k-2. c. m. s2-2. c2. s. -2. c. k-k2+c2. s2 Fazendo s=j. w, obtém-se então as funções de resposta do istema para os pavimentos. H 1 jw=–m. w2+. c. w+k-m2. w4+j. m. w3. c+3. m. w2. k+2. c. m. w2-j. 2. c2. w-2. c. k-k2-c2. w2 | (14) | H2jw=-J. c. w+k-m2. w4+j. m. w3. c+3. m. w2. k+2. c. m. w2-j. 2. c2. w-2. c. k- k2-c2.

LJ2 A partir das funções de resposta obtidas acima é possível plotar a FRF do problema proposto. No gráfico a amplitude é dada pelo módulo de H(jw) pela freqüência de excitação. Figura [5] – FRF do sistema proposto obtida através das equações I HOw)l Modelagem no Xcos e Discussão dos Resultados O sistema foi modelado Xcos de modo a resolver as equações iferenciais (equações 7 e 8) apresentadas para este problema, resultando no diagrama de blocos visto na figura 6. O modelo é composto através da saída de um operador de somatório que tem como entradas os termos da equação a ser solucionada. Figura [ 6] – Modelagem no Xcos de um sistema com dois graus de liberdade 0 tal, foram simulados dois cenários iniciais.

O primeiro com uma amplitude de 21JE e frequencia de 5rad/s, o que resultou em uma pequena ampliação praticamente igual nos dois pavimentos com pode ser observado na figura 7. No segundo cenário foi simulado uma excitação senoidal, com mesma amplitude de 21JE, porém na frequencia de 19rad/ s que coincide com a primeira frequencia natural do sistema. Neste caso observa-se que existe uma amplidicaçao em ambos os pavimentos sendo que a maior ocorre no segundo como observado na figura 8 e previsto pela FRE Figura [8] – Sistema excitado na primeira frequência de ressonância em 19 rad/s Outro caso a se considerar é quando uma vibração aleatória de distribuição gaussiana e intensidade ajustável é inserida, resultando no diagrama de blocos observado na figura 9.

Figura [ 9 Modelo com vibração senoidal somada a uma vibração aleatória ara este modelo foi aplicado um sinal de magnitude igual a 21JE e frequencia igual a 1 Orad/s combinado a uma sinal aleatório de distribuição Gaussiana com média 21JE e desvios padrões iguais a 0. 5 e 20 como observado nas figuras 10 e 11 respectivamente. Figura [ 10] – Senóide somada a um sinal aleatório de média=2 e desvio=o. 5 No caso em que se soma um sinal aleatório com baixo desvio padrão, o comportamento preponderante é dado pela frequencia do sinal senoidal, com uma pequena amplialao devido ao surgimento de frequencias nas faixas das frequencias de ressonancia, especialmente em 1 grad/s.

Figura [11 ] -senóide so 80F 10 frequencias de ressonancia, especialmente em 19rad/s. Figura [ 11 ] – Senóide somada a um sinal aleatório de média=2 e desvio=20 Se o valor do desvio padrão for aumentado de modo a representar um sistema com elevada variabilidade, as frequencias passam a ser importantes, inclusive se sobrepondo ao Sinal senoidal que tem suas características atenuadas, como visto na figura 11. Figura [ 12] – Diagrama de blocos para o pulso senoidal Para o quarto e ultimo caso é gerando um pulso senoidal. de amplitude igual a 51JE e freqüência de 5rad/s e 19rad/s. As figuras 3 e 14 representam estes pulsos. Figura [ 13]- pulso em 5 e 1. 5s Figura [14] – pulso em 19 rad/se 0. 33s I Figura [ 15] – Pulso senoidal com duração de 1. 25s em Srad/s Figura [ 16] – Pulso senoidal com duração de 0. 33s em 19rad/s Como resultado da simulação com os pulsos senoidais, é possível observar que o sistema tem um comportamento subamortecido, o que já era esperado uma vez que possui fator de amortecimento igual a 10% (*0. 1). Em frequências mais baixas, ou seja, em pulsos com períodos maiores, a simulação demonstrou que o sistema é menos afetado pelo amortecimento, o contrário dos pulsos de menor período onde a influencia do fator de amortecimento torna-se mais significativa. 1.

CONSIDERAÇÕES FINAIS Através da análise da função de resposta em freqüências de um sistema é possível identificar valores críticos que podem levar o sistema a um estado critico e até mesmo seu colapso. Embora diversas simplificações tenham si diversas simplificações tenham sido feitas, o sistema mantém suas características principais permitindo a avaliação de alguns cenários. Como era esperado foram Identificadas duas frequências naturais suas respectivas fases através da FRF, o que se manteve fiel na simulação quando foi observado que o sistema entrou em ressonância na faixa de 19Hz. A partir da FRF é possível determinar um sistema de isolamento, sistema este que deve manter a vibração na base do pequeno edifício próximo a 30Hz, ou seja, em torno de um zero do sistema como observado na FRF.

Considerando uma vibração aleatória sobre uma força senoidal, é possível observar que o sistema se mantém dentro das características da senóide desde que possua um baixo desvio padrão. Para a vibração gerada a partir de um pulso senoidal, observa- e que na condição de ressonância é necessário um tempo relativamente maior para que a condição inicial de equilibrio seja alcançada novamente devido a uma maior acumulo de energia no sistema. 2. REFERÊNCIAS [1] INMAN, D. J. , “Engineering Vibration”, Prentice-HalI, 1994. [2] MEIROVITCH, L”Elements ofVibration Analysis”, Mcgraw-Hill, 1975. [3] SETO. W. W. , “Vibraçóes 1971. [4] SOLETO. J. Jr. “Introdução às Vibrações Mecânicas”, Edgar Blucher, 2006. [S]CHOPRA, A. K. “Dynamics of Structures – Theory and Applications to Earthquake Engineering”, 1995 0 DF 10