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APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR Prof. Dr Rogério de Aguiar Chefe do Departamento de Matemática CCT – UDESC -JOINVI LE Email: dma2ra@joinville. udesc. br Home Page: www. joinville. udesc. br/dmat/rogerio Professores Integrantes do Projeto de Álgebra II Graciela Moro – Coordenadora Ivanete Zucki João de Azevedo Jorge Mota Marnei Luis Mandler Milton Procópio de B Rogério de Aguiar 25 de Março de 2008 Sumário orgi to view nut*ge MATRIZES SISTEMAS 1. 1 Tipos de matrizes . .2 Operações com matrizes . 1. 3 Matriz escalonada 1. 4 Cálculo da inversa .

Determinantes . 1. 6 Sexta lista de exercícios . 1 . 7 Sistema de equações lineares . 1. 7. 1 Introdução 1 . 7. 2 Sistemas e matrizes. 1. 7. 3 Solução de um sistema por matriz inversa 1. 8 Sétima lista de exercícios . 1. 9 Apêndice. . 1. 9. 1 Cálculo da inversa por adjunta . PAGF gl autoadjuntos e ortogonais Décima lista de exercícios PAGFd gl :::::::: a2n 7 aml am2 . amn Notação: Costumamos denotar as matrizes por letras latinas maiúsculas:A; Matriz coluna: É a matriz de ordem m 21: 627 637 435 6. 7 441 4 ggg 5 1000 1000 1 ; ann g

Matriz identidade: É a matriz diagonal I onde diag (I ) = fl; Notação: In representa a matriz identidade de ordem n: Exemplo 5 12 1100 661 simétrica se S Exemplo 7 2 159 OI s=45385; 10 987 Matriz anti-simétrica: uma matriz quadrada A = [aij] é anti- simétrica 034 65 Exemplo 8 460 Matriz triangular superior: A matriz quadrada A = [aij ] que tem os elementos aij = 0 para i > j é chamada matriz triagular superior. 54 7 g 60 3 8 47 40 0 2 35 00 0006 Matriz triangular inferior: A matriz uadrada A [aijl que tem os elementos ail = 0 para i < triz triangular inferior.

PAGF 7 gl Multiplicação de Matrizes: Sejam A = [aij ]m mos A B por AB [cij ]m p; onde x p ; de… ni- aikbkj = ail blj+• • + ain bnj Observe que o número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de g: Exemplo 11 5 21 21+1 0 4425 -44 1+2 0 oa 22 5332 5 1+3 0 zero. ii) Se A admite inversa (det A 6= O) esta é única iii) Se A é não singular, sua inversa A 1 também é, isto é, se det A então det A 1 0: A matriz inversa de A 1 é A: iv) A matriz identidade é não singular (pois det – ) Se a matriz A é não singular, sua transposta AT também é.

A matriz inversa de AT 1 )T; isto é , (AT) 1 = (Al) ; dai concluimos que se det A O então det AT O: vi) Se as matrizes A e B são não singulares e de mesma ordem, o produto AB é uma matriz não singular. Vale a relação (AB) 1 = 31 Al Exemplo 13 • 23 z) det 22 1 10 ) det = 2) Aé não singular – 0) A é singular Matriz ortogonal: Uma matriz M’ uadrada, cuja inversa conicide com a) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1: ) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero. ) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas (isto é,. daquelas que possuem pelo menos um elemento não nulo) d) Se as linhas 1; p são as linhas não nulas, e se o primeiro elemento não nulo da linha { ocorre na coluna kl , então kl < k2 < ::::: < kn Exemplo 16 100 1 0 5 não é forma escada. Não vale b). 1)401 001 30 021 3 5 não é forma escada. Não vale a) e b). 2)410 30 0 5 não é forma escada. Não vale c). 20 00 301