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Universidade Gama Filho Pró-Reitoria de Ciências Exatas e Tecnologia MAT254 – Álgebra Linear Caderno de Exercícios Aline Simas alinesimas@gmail. com Gabriela Félix gab iela@impa. br Giselia Clarice giseliaclarice@hotmail. com Simone Dutra simone dutra@oi. com. br Sueli Cunha suelicunha@ugf. br 2008/2 [NDICE 5 p i 1. MATRIZES .. 1 2. MATRIZES ESCALONADAS, ESCALONAMENTO DE MATRIZES E POSTO DE UMA MATRIZ SISTEMAS DE EQUAÇOES LINEARES .. 34. ESPAÇOS VETORIAIS 65 COMBINAÇÃO LINEAR E SUBESPAÇO GERADO . 8 6. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR . 9 7. BASES E DIMENSAO …..

IOANEXO A. RESPOSTAS DE EXERCICIOS SELECIONADOS…. 1 A. 1 Seção 1 .. 11 A2 Seção 2 — ………………………. 1 2 A. 3 Se Seção 3 . 4 Seção 4 5 Seção 5 6 seçao 6 7 . 14 A. A 7 seçao PREFÁCIO Esta apostila contém uma lista (não exaustiva) de exercícios que cobre as primeiras unidades da ementa da disciplina MAT254 – Álgebra Linear, ministrada no Curso de Licenciatura de Matemática e no ciclo de básico dos cursos de de Engenharia bem (Civil, em Elétrica, cursos o de Mecânica, Petróleo, Os Produção), são como em Tecnólogos. abordado. xercícios agrupados segundo tema Este documento possui então 7 seções e 1 anexo, onde: Na Seção , são propostos exercícios de revisão sobre matrizes; A Seção 2 contém exercícios de escalonamento de matrizes e determinação do posto de uma matriz; A Seçã03 trata de sistemas de equações lineares: resolução e estudo da varia ão de parâmetros; A Seção 4 aborda o tema espaços vetoriais; Na Seção 5, são 2 OF exercícios sobre combinação linear e subespaço gerado; A Seção 6 contém exercícios sobre dependência e independência linear A Seção 7 trata sobre bases e dimensão de um espaço vetorial; Finalmente, o Anexo A contém resposta de alguns exercícios do caderno. 1. MATRIZES (Revisão) 1) Calcule, quando for definida, as operações abaixo ou indique porque a operação não é definida: a) 1025341123 3214, 508 6210 132135 b) 1 oc 2401 3111 3121 CD e) -A f) -D 8) Calcule x, y, z e w, considerando x y z w 2334 1 001 1010 9) Encontre a transposta At da matriz A 2345. 4444 Seja A 21 Considerando A, calcule o valor de x. 11) 12) Dada a matriz A Considere uma 1 3 matriz 20 1 4 Amxn , calcule AAt e AtA. qualquer.

Sob quais condições o produto AAt é definido? E o produto AtA? 13) Se A é uma matriz triangular superior então At é . 14) 15) Se Aé uma matriz diagonal então Até Uma matriz diagonal é igualmente uma matriz triangula 40F 3,0001 2 73 12FOOOO 305207 14,3 1421,3592 017 500100 10502 G- 000000 0120400017 a) diga se a matriz está na forma escalonada por linhas; em caso afirmativo, indique os ele uidos; em caso negativo, OF ou não; justifique sua resposta; b) encontre a matriz escalonada reduzida por linhas equivalente à matriz aumentada do sistema e determine, se possível, o valor de x, y e z. 3 3x 57 z 7? 152 2XX y 2y Y3YY 27 z 10 105 iii. 32 2xxx z kz kz 2z z z kz 3z 2x x 4) Determine os respectivos valores de a, b e c para que cada sistema abaixo possua solução x 2Y 2Y 2YY 5Y 2y 3y y 32 z z 2z abc abc abc triangulares superiores de ordem n} c) V simétricas de ordem n} d) V = 3) Mostre W {(x, y) os conjuntos 6 } são subespaços dos que abaixo nao = Mnoew = {matrizes respectivos espaços vetoriais V sobre a) V – W = o primeiro quadrante do planoxy (x O, y O} x, y}} ), isto 80F o subespaço U 6) Desafio: Considere um sistema homogêneo de equações lineares com n incógnitas xl, x2, „ xn reais: al IXI + a12x2 al nxn = O auxi + a22X2 + + aznxn = O amlxl + am2x2 + + am2xn = O Mostre que o conjunto de solução W é subespaço de 7) Sejam U e W subconjuntos de a) U e W são subespaços de 33 .

Mostre, em cada caso, que: W. l IJ = {(xl, yl, zl) W = Y2, 22), Y2, z2 ii. U = {CXI, YI, ZI)W = O, z2), 22 xl +YI zl = O, 5. COMBINACAO LINEAR E ERADO 1) considere os Determine o subespaço de M2 gerado pe o conjunto S = 1210,011 1,3812 4) Mostre que os vetores u = (2, 1) e v = (3, 2) são geradores do espaço vetorial v, S = 22 (ou seja, se S é o subespaço gerado por u e se os vetores x4 , x3 , x2 , xl , xo geram o espaço 5) Verifique vetorial formado pelos polinômios de grau menor ou igual a 4. 6) Escreva, se possível, os vetores v abaixo como combinação linear dos vetores vi correspondentes: a) v = (1, -2, 5); v3 = (2, -1, 1) 8 VI 1,1), v2 = (1,2, 3), 0 DF