Sistemas lineares

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Sistemas Lineares 1. Equação Linear Toda equação da forma al xl + a 2 x 2 denominada equação linear, em que: al , a 2 a n são coeficientes xl , x 2 x n são as incógnitas é um termo independente b Exemplos: a) 2×1 -3×2*x3- b)x+y—z+t=-lé Observações: 10) Quando o termo i linear denomina-se e *AGE 1 OF17 p -bé de três incógnitas. uatro incognitas. a zero, a equaçao linear homogênea. Por exemplo: 5 x + y = 0 . 20) Uma equação linear não apresenta termos da forma xl 2 , xl -x 2 etc. , isto é, cada termo da equação tem uma única incógnita, cujo expoente é sempre 1. As equações 3 xl 2 +2 x 2 = -3 e 4 x. + z = 2 não são lineares. 30) A solução de uma equação linear a n incógnitas é a seqüência de números reais ou ênupla (a 1 , a 2 a n) , que, colocados respectivamente no lugar de xl , x 2 x n , tornam verdadeira a igualdade dada. 40) Uma solução evidente da equação linear homogênea 3 x + y – Oé a dupla (0,0) . Vejamos alguns exemplos: 10 exemplo: Dada a equação linear 4 x —y + z = 2 , encontrar uma Resposta: Uma das soluções é a tripla ordenada (2, O, -6). 20 exemplo: Dada a equação 3 x 2 y = 5, determinar apara que dupla (-1, a) seja solução da equação.

Resolução: (- 1, a) 3. (- 1)- 2a -3-2a-5 -2a -8 Resposta: a = – 4 Exercícios Propostos: 1. Determine m para que 1,1,-2) seja solução da equação mx + Resp: -1 2. Dada a equação xy + – —1 , ache a para que (a , a + 1 torne a sentença verdadeira. 23 20F Uma solução evidente do sistema linear homogêneo é x = y = z = o. Esta solução chama-se solução trivial do sistema homogêneo. Se o sistema homogêneo admitir outra solução em que as incógn•tas não são todas nulas, a solução será chamada solução não-trivial. ) Se dois sistemas lineares, SI e 52, admitem a mesma soluçao, eles são ditos sistemas equivalentes. Veja o exemplo: 2 s = {(1,-2 » 02 x —y = 4 D3X+2=2 s = {(1,-2 S2:C] 03 Como os sistemas admitem a mesma solução SI e São equivalentes. Exercícios Popostos: 02 xl +3×2-x3=o 1. Seia o sistema SI : EXI 30F lineares. Seja o sistema linear: + alnxn – bl aal I XI + a12x2 * . Oax+ax+… +ax=b 222 2n n 0211 na ml xl + am2x2 Utilizando matrizes, podemos representar este sistema da seguinte forma: Oali 021 0a ml a12 a 22 am 2 . alnn .. a2nD 40F Ox-3y=O 02a+b+c= 1 O- 3a + 5b -c = 2 2.

A expressão matricial de um sistema S é: n 2-5nnaClO 03 1 . C]b C] 7 Cl . Determine as equações de S. 4. Class’ficação dos sistemas lineares Os sistemas lineares são classificados, quanto ao número de soluções, da seguinte forma: 5 5. Regra de Cramer A regra de Cramer consiste num método para se resolver um sistema linear. Dall xl +a12x2+ + alnxn=bl Oax+ax+.. +ax=b 0a ml bn o ali Axn = Cl aa ml alnCl … a 2nn detAx 2 det A 7 -In A 03 -45 n CII 1 5X3= 10. 3 01 2 Resolução: 10) Cálculo do determinante da matriz incompleta. -4 –4+10 -12 20) Cálculo do determinante das incógnitas. 2-10 Al detA1 -10-4+0-20 -24 01 0-10 A2 03 105 n s detA2= 10+0-3 10 01110 01200 a 20 Resp• b) 0236 0. oyo=02 n 51 -Innznngn Resp: 0-10 6. Discussão de um sistema linear Seja o sistema linear de n equações a n incógnitas. Dall xl + a12x2+ + a n 2×2+.. alnxn=bl . +annxn=bn Discutir o sistema é sabe 80F ível, impossível ou para qualquer valor de m SI m = -3 (sistema impossível) 20) Exemplo: Determinar m, de modo que o sistema x + my + z- O seja incompatiVel. detA= m 11-12 11 02-1 on Ax = m 1 C] detAx —2m 04 1 01 2 ou 01 detAy= solução (O, O) chamada olução trivial.

Observe que para um sistema homogêneo teremos sempre det Al = O, detA2 = det An Portanto, para a discussão de um sistema linear homogêneo, é suficiente o estudo do determinante dos coeficientes das incógnitas. 12 Determinado -4 det A Indeterminado -4 det A = 0 40)Exemplo: Calcular o valor de a para que o sistema LI tenha soluções diferentes Oax + ay 0 da trivial. Resolução: Neste caso, o sistema deve ser indeterminado, e teremos det A = O LI detA= a2-a- -1) naan Resposta: {0,1} 1. Discuta os sistemas: CJmx + y = 2 LIX -y = m OkX+y=1 OX+Y=2 07 0 DF

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