Matematica
curso: ADMI NISTRAÇAO ALUNO(A): Bornatto 2011 MATEMATICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto Matemática Aplicada Gilmar FUNÇÕES MATEMÁTICAS APLICADAS À ECONOMIA Constantemente encontramos em nosso cotidiano situações envolvendo relações entre duas grandezas variáveis. Vejamos alguns exemplos: (a) (b) O total mensal da conta de Água pago à Sanepar é uma rela valor da conta.
A rec 2 determinado produt elu , ‘Vipe nent page quantidade vendida de um trabalhador q consumida e o ês na venda de um a relação entre a roduto. O salário lhadas, é uma elação entre as horas que ele trabalhou e o valor pago por hora O consumo de combustível de um carro, é uma relação com a quantidade de quilômetros rodados pelo carro.
FUNÇÃO CUSTO Para compor uma função custo geralmente temos uma série de fatores, como, por exemplo, o custo fixo (aluguel, seguro, impostos, etc) e o custo variável em função da quantidade produzida de determinada mercadoria. Podemos expressá-la por: Custo Total Custo Fixo + Custo Variável FUNÇÃO RECEITA A função receita é composta com a quantidade arrecadada com a venda de x unidades de um determinando produto, isto é: a quantidade ultiplicada pelo valor unitário.
Receita = Quantidade x preço FUNÇÃO LUCRO Um produtor ou vendedor obtém seu lucro (ou a função lucro), retirando o custo do valor arrecadado com a receito:: Lucro = Receita – Custo página 2 2 MATEMÁTICA APLICADA FUNÇÃO DEMANDA Considere as circunstâncias relativas a um fabricante, nas quais as únicas variáveis são preço p e a quantidade de mercadorias demandadas x, portanto a função demanda é uma relação entre a quantidade demandada x e o preço p.
Em geral quando o preço é baixo, os consumidores procuram mais a mercadoria e viceversa. FUNÇÃO OFERTA Assim como a demanda, a oferta também pode ser expressa por uma função, relacionandose preço e quantidade oferecida de uma mercadoria. A função oferta é crescente, pois quando o preço sobe, existem mais produtores Interessados em colocar no mercado quantidades cada vez maiores de seu produto, quando o preço caí, essa oferta diminui.
PONTO DE EQUILÍBRIO Também chamado de ponto de Nivelamento ou break-even. É utilizado na administração e na Economia, para analisar as im lica ões de várias decisões de fixação de preços e produ icamente é quando: 2 2 Demanda ou Custo – Receita FUNÇÃO UTILIDADE A função utilidade pretende medir a satisfação de um consumidor em função da quantidade consumida de certo bem ou serviço.
CURVA DO ORÇAMENTO Quando se conhecem o orçamento (verba disponível) de um consumidor e os preços dos produtos que pretende comprar, pode-se estabelecer uma relação entre as quantidades desses produtos que podem ser adquiridos por ele com essa verba FUNÇÃO PRODUÇÃO A função produção Total ou função produção dá a quantidade produzida na unidade de tempo como função de um conjunto de fatores, chamados insumos de rodução, tais como capital, trabalho, matéria-prima. Matemática Aplicada Página 3 Professor Gilmar Bornatto 3 EXERCÍCIOS DE REVISÃO 1. Uma fábrica de móveis vende mesas por R$70,00 cada.
O custo total de produção consiste de um sobretaxa de R$8. 000,00 somada ao custo de produção de R$30,OO por mesa. a) Construa as funções receita e custo e lucro total. b) Quantas unidades o fabricante precisa vender para atingir o ponto de nivelamento? c) Se forem vendidas 250 mesas, qual será o lucro ou prejuízo do fabricante? d) Quantas unidades o fabricante precisa vender para obter um lucro de R$6. 000,00 e) Construa, no mesmo par de eixos, os gráficos das funções receita e custo. 2. Um artesão têm um gasto fixo de R$600,00 e, em material, gasta R$25,00 por unidade produzida.
S 62 artesão têm um gasto fixo de R$600,OO e, em material, gasta R$25,OO por unidade produzida. Se cada unidade for vendida por R$175,00: a) Construa as funções receita e custo e lucro total. b) Quantas unidades o artesão precisa vender para atingir o ponto de nivelamento? c) Quantas unidades o artesão precisa vender para obter um lucro de R$450,OO 3. Um grupo de amigos, que moraram nos EUA, deseja montar um curso de inglês. Eles observaram que, teriam um gasto fixo mensal de RSI -680,00 e, gastariam ainda R$ 24,00, em materiais e pagamento de professores, por aluno. Cada aluno deverá pagar R$40,00. ) Quantos alunos o curso necessita ter para que não haja prejuízo? b) Qual será o lucro ou prejuízo do curso, se obtiverem 70 alunos? 4. Em um posto de combustível, o preço da gasolina é de $1 por litro. a) Determine uma expressão que relacione o valor pago (V) em função da quantidade de litros (x) abastecidos por um consumidor. b) Supondo que o tanque de combustível de um carro comporte 50 litros, calcule o valor otal pago pelo consumidor utilizando a expressão encontrada no item anterior. 5. Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos Ae B dados em cada item: a) A(1,15) e b) A(2, 18) e c) e 6.
Um produto, quando comercializado, apresenta as funções custo e receita dadas, respectivamente, por C(x) = 3x + 90 e R(x) = 5x, onde xé a quantidade comercializada que se 4 62 dadas, respectivamente, por C(x) = 3x + 90 e R(x) = 5x, onde xé a quantidade comercializada que se supõe ser a mesma para custo e receita. a) Em um mesmo sistema de eixos, esboce os gráficos de custo e receita. Determine também e indique no gráfico o reak-even poit. b) Obtenha a função Lucro, L(X) e determine as quantidades necessarias para que o lucro Matemática Aplicada Página 4 Professor Gilmar Bornatto 4 seja negativo (prejuízo), nulo e positivo. . Um fabricante vende a unidade de certo produto por R$110,00. O custo total consiste em uma taxa fixa de R$7. 500,00 somada ao custo de produção de R$60,00 por unidade. a) Construa as funções receita e custo e lucro total. b) Quantas unidades o fabricante precisa vender para atingir o ponto de nivelamento? c) Se forem vendidas 100 unidades, qual será o lucro ou prejuízo do fabricante? d) Quantas nidades o fabricante precisa vender para obter um lucro de R$l . 250,00 e) Construa, no mesmo par de eixos, os gráficos das funções receita e custo. . Determine o ponto de nivelamento (ou ponto crítico) e esboce os gráficos da função receita e custo em cada caso: a) R(x) = 4x e C(x) = 50 + 2x b) R(x) = 200x e C(x) = 10000 + 150x c) R(X) = (1/2)x e = 20 + (1/4)x l. podemos dizer que “o preço de equilíbrio de um produto corresponde ao valor em que a procura por parte dos consumidores se iguala ao q s 2 produto corresponde ao valor em que a procura por parte dos consumidores se iguala ao que é oferecido por parte dos ornecedores, ou seja, quando a demanda é igual à oferta”.
Considerando as funções demanda e oferta respectivamente: y – -x + 4 e y = 2x+1 a) Calcule algebricamente o ponto de equilibno entre oferta e demanda. b) Represente em um mesmo sistema de eixos, os gráficos da oferta e da demanda e indique no gráfico o break-even poit. 2. Suponha que o custo fixo de produção de um artigo seja R$ 450,00. O custo variável igual a 60 por cento do preço de venda, que é de R$ 15,00 por unidade. Qual é a quantidade para se atingir o ponto de equilíbrio? 3. A curva de demanda de um artigo é x IO . Assuma que y representa o preço e x a 4 quantidade. a) Ache a quantidade demandada se o preço é de R$ 25,00 (b) Ache o preço se a quantidade demandada é de 7 unidades (c) Qual é o preço mais alto que poderá ser pago por este artigo? (d) Que quantidade poderá ser demandada se o artigo for oferecido gratuitamente? 4. O custo de um certo produto, no mercado, é dado por C ( x) 6,00 3,00 x , sendo x o número de unidades produzidas. Qual é o custo de 2. 000 unidades desse produto? 5. Um fabricante produz uma certa mercadoria por R$ 0,90 a unidade, vendendo-a por R$ 1 ,50 a unidade.
Quantas unidades devem ser vendidas para se ter um lucro de R$ 2. 400,00? Matemática Aplicada página 5 Professor Gilmar Bo 6 62 ser vendidas para se ter um lucro de R$ 2. 400,00? Matemática Aplicada Página 5 Professor Gilmar Bornatto 5 6. Ao preço de R$ 5,00 por unidade, uma empresa oferecerá mensalmente 5. 000 lanternas de pilha; a R$ 3,50 por unidade ela oferecerá 2. 000 unidades. Determine a equação da função de oferta para este produto. 7. O custo mensal de uma fábrica que produz esquis é de R$ 4. 200, e o custo variável de R$ 55 por par de esquis. O preço de venda é de R$ 105. Se x unidades são vendidas durante um mês, expresse o lucro mensal como uma função de x. b) Se 600 pares forem vendidos em um mês, qual será o lucro. c) Quantas unidades precisam ser vendidas para não haver prejuízo durante um mês ? 8. Sabendo-se que a função custo total para fabricar determinada mercadoria é dada por C (x) n x3 n x 2 Cl 100 , sendo x a quantidade produzida, calcule: a. O custo total para produzir 5 unidades dessa mercadoria; b. O custo total para produzir 10 unidades dessa mercadoria c. A função custo médio e o custo médio para produzir 5 unidades dessa mercadoria. O consumo de energia elétrica para uma residência no decorrer dos meses é dado por E (t) 0 t 2 a 8t[::] 210 , onde o consumo Eé dado em Kwh e ao tempo associa-se t = O a Janeiro, t = 1 a fevereiro, e assim sucessivamente. a) Determine o(s) mês(es) em que o consumo é de 195 Kwh. b) Qual o consumo assim sucessivamente. a) Determine o(s) mês(es) em que o consumo é de 195 Kwh. b) Qual o consumo mensal médio(considere a média aritmética dos meses do ano) para o primeiro ano? 10. Calcule os pontos de interseção dos gráficos das funções f ( x) Ox2e g ( x) 2 x. 11.
Um fabricante consegue ender a unidade de um produto por $80,00 . O custo total consiste em uma sobretaxa de $4500,00 somada ao custo da produção de $50,00 por unidade. a) Quantas unidades o fabricante precisa vender para existir o nivelamento? b) Qual será o lucro do fabricante se ele vender 500 unidades? c) Quantas unidades o fabricante terá que vender para obter um lucro de 9. 000,00 12. Calcule o preço de equilíbrio e o número correspondente de unidades em oferta e procura, sabendo que a função oferta de um certo produto é f ( x) x 2 3x 70 e a função procura (demanda) é f ( x) C] 410 C] x . 3. A função receita é dada por 100 e a funçao custo por C LI 80 , sendo x a quantidade. a) Determine a função lucro L(x) b) Qual o lucro para uma quantidade demandada igual a 10? página 6 6 14. As funções de oferta e demanda de um produto são respectivamente: y 2 x 80 e y 04 x 200 . a. Determine a quantidade e o preço de equilíbrio. b. Represente graficamente as funções oferta e demanda e quantidade e o preço de equilíbrio. b. Represente graficamente as funções oferta e demanda e o ponto de equilíbrio. c. para que valores de x o preço de oferta excede o preço de demanda? 15.
Sabe-se que o custo mensal fixo de uma indústria que produz relógios de parede é R$ 8. 500 e que o custo variável é R$ 10 por relógio fabricado. O preço de venda é de R$ 80 por relógio. a. Se x relógios são vendidos durante um mês, qual é o custo mensal y como função de x? b. Qual é o lucro no mês de julho se 500 relógios foram vendidos neste mês? 16. Um fabricante consegue vender a unidade de um produto por R$ 80. O custo total consiste em uma sobretaxa de R$ 4. 500 somada ao custo da produção de R$ 50 por unidade: a. Quantas unidades o fabricante precisa vender para existir o nivelamento? Qual será o lucro ou prejuízo do fabricante, se forem vendidas 200 unidades? c. Quantas unidades o fabricante necessita vender para obter um lucro de R$ 900? 17. Sabe-se que a equação de demanda de um bem é dada por x L] 200 C] 4 p , sendo o custo associado C LI 4 p 12 . Determinar: a. A função receita total, traçando o gráfico correspondente; b. O ponto de break-even* c. A função lucro 18. Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de um certo produto é dado por C (x) x 2 n 80 x 3000 . Nestas condições calcule: a. A quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo. b.
O valor minimo do custo. 19. U quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo. b. O valor mínimo do custo. 19. Uma editora pretende lançar um livro e estima que a quantidade vendida será 20. 000 unidades por ano. Se o custo fixo de fabricação for R$ 150. 000,00 por ano, e o variável por unidade de R$20,00, qual o preço mínimo que deverá cobrar pelo livro para não ter prejuízo? 20. Determine o preço de equilibrio de mercado nas seguintes situações: (a) oferta : p 10 C] x, demanda : p C] 20 C] x (b) oferta : p 3x n 20, demanda: p Cl 50 x Ponto de Equilíbrio. Matemática Aplicada Página 7 7 21.
Uma doceira produz um tipo de bolo de tal forma que sua função de oferta diária é p D IO x . (a) Qual o preço para que a oferta seja de 20 bolos diários? (b) Se o preço unitário for R$15,00 qual é a oferta diária? (c) Se a função de demanda diária por esses bolos for p L] 30 LI 18x , qual o preço de , equilíbrio? 22. O consumo nacional total é dado (em bilhões de dólares) pela equação c Cl 4,5 Cl 0,9y d onde y d é a renda disponível. Se a renda disponível é 15 (em bilhões de dólares). (a) Qual é o consumo total? b ue roporção do consumo total representa o consumo da vel? 23. Um fabricante 0 DF 62