Blog

Curso de Licenciatura em Física Grupo de Apoio Maio/2011 Matrizes Definiçoes Matrizes são agrupamentos retangulares de elementos que podem ser localizados a partir de um numero correspondente a uma linha e de um numero correspondente a uma coluna. Uma matriz é parecid posição, definida por um elemento. 112 2 03 52 riculada onde cada e da coluna, guarda p Figura 1. Ilustração de uma matriz, com identificação dos números de linha e coluna.

Na ilustração acima, os números das linhas e das colunas estão nos quadrados em cinza, enquanto os elementos da matriz estão nos quadrados brancos. Por exemplo, o elemento que está na inha e na coluna é o elemento – usa-se a letra a minúscula com os números de linha e coluna subscritos para identificar um linhas e duas colunas; se fosse uma matriz com 5 linhas e 3 colunas, teríamos uma matriz . A identificação dos elementos da matriz , elemento da linha 1 e coluna 1. , elemento da linha 1 e coluna 2. fica: Maio,’2011 , elemento da linha 2 e coluna 1. , elemento da linha 2 e coluna 2.

Assim, os elementos de uma matriz qualquer de linhas e colunas são representados por: Matrizes especiais Considere uma matriz Se e em geral e , a matriz . é chamada matriz linha. Por exemplo, se , a matriz ? chamada matriz coluna. Por exemplo, e em geral Se é chamada matriz quadrada de ordem m . Por exemplo, matrizes Duas matrizes e são iguais se e somente se para todo e , ou seja, não basta que todos os elementos sejam iguais, eles também tem que estar nas posições correspondentes. Exercício – exemplo. Determine as variáveis xe y para que as matrizes e e seJam Igua. s.

Exercício Determine os valores de a) e para que as matrizes e e sejam iguais nos itens abaixo: 3 MaiO/2011 b) Adição de matrizes Duas matrizes e só podem ser somadas se tiverem o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. A soma se dá elemento a elemento, isto é, soma-se o primeiro elemento da primeira coluna da matriz com o primeiro elemento da primeira coluna da matriz , que dá o elemento da primeira linha e primeira coluna da matriz soma. Assim, a matriz soma, que vamos chamar de , tem o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas das duas matrizes somadas. or exemplo, com as a matriz soma que é soma delas, ou seja 3 Para executar esta operação, existe um detalhe importante. Note que o número de colunas da primeira matriz ( ) deve ser igual ao numero de linhas da segunda matriz ( ) e a matriz produto terá antas linhas quanto a primeira matriz e tantas colunas quanto a segunda matriz. Note, também, que a ordem de multiplicação é importante no caso de matrizes, aliás, de acordo com a regra acima a multiplicação , será impossível se . Agora que temos as condições necessárias para a operação e uma idéia do que esperar como resultado, vamos ao procedimento.

Sejam e Note que os elementos da matriz estão em negrito. O procedimento consiste em multiplicar o primeiro elemento da primeira linha de pelo primeiro elemento da primeira coluna de e somar com a multiplicação do segundo elemento da primeira inha de com o segundo elemento da primeira coluna de e assim sucessivamente; a direção em que os elementos são selecionados para serem multiplicados está indicada pelas setas. O resultado gera a matriz : Matriz transposta Transpor uma matriz significa transformar as colunas dessa matriz em linhas.

Dada a matriz , sua matriz transposta é representada por . Exemplo: , a matriz transposta de é 5 O determinante de uma matriz O determinante de uma matriz é uma grandeza escalar obtida por um cálculo específico com todos os elementos da matriz e que só é definido para matrizes quadradas. Matriz quadrada de segunda ordem O determinante de uma m nda ordem é dad quadradas. O determinante de uma matriz de segunda ordem é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

Exemplo: Assim, de forma geral, o determinante de uma matriz de segunda ordem é dado por: Matriz quadrada de terceira ordem Trataremos aqui somente de uma técnica para calcular os determinantes de matrizes de terceira ordem, que é uma maneira abrangente e que pode ser usada para o cálculo de matrizes quadradas de qualquer ordem, chamada fórmula de Laplace. A fim de iniciar por um exemplo, vamos calcular o determinante de matriz A dada por O primeiro passo é eliminar uma linha e uma coluna da matriz, o que resulta em outra matriz quadrada de grau uma unidade menor que a matriz original.

Eliminaremos primeiro a primeira linha e primeira coluna da matriz o que nos dá, A linha e a coluna eliminada estão em cinza e a matriz restante, de ordem 2, está em branco; essa matriz tem o nome de menor complementar do elemento al 1. O passo seguinte é calcular o determinante desse menor, e, depois, multiplicar o valor obtido por , temos: o resultado é chamado cofator. Como neste caso Repetimos esse procedimento para determinar os cofatores dos dois outros elementos da primeira linha.

O menor do elemento da 1 a linha e 2a coluna é obtido ela eliminação da linha e 2′ coluna: S Física Grupo de Apoio O menor do elemento da 1a linha e 3a coluna é obtido pela eliminação da 1 a linha e 3a coluna: Obtém-se o determinante somando 3 parcelas, cada uma igual ? multiplicação de um elemento da primeira linha com seu cofator correspondente: A expressão que generaliza o procedimento acima quando fixamos uma linha é dada por: ara qualquer linha l, ou seja, não somos obrigados a expandir o determinante em cofatores pela primeira linha, podemos escolher qualquer uma das linhas da matriz.

Exercício. Prove que o determinante de uma matriz que tem todos os elementos de uma linha iguais a zero é nulo. O determinante pode ser calculado também calculando os cofatores de todos os elementos de uma mesma coluna, de acordo com a fórmula para qualquer coluna j. Exercício. Prove que o determinante de uma matriz que tem todos os elementos de uma coluna iguais a zero é nulo. 7 Exercícios 1) Escreva a matriz tal que para e para 2) Determine