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canicoAula OI – Modelagem de Sistemas Mecânicos de Translação NTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLE / TEORIA DE CONTROLE AULA 01 – MODELAGEM DE SISTEMAS MECÂNICOS DE TRANSLAÇÃO O processo de modelagem é uma etapa de grande importância no estudo de sistemas de controle. A modelagem é responsável pro traduzir os elementos do mundo real em termos mate realizar o equaciona OF9 do sistema em estud De. Vipe view nent page nosso curso Iremos e mecânicos e elétrico escrever a dinâmica gem de sistemas possível modelar qualquer tipo de sistema, como por exemplo, istemas térmicos e hidráulicos (uma boa referência de estudo para esses tipos de sistema é o livro Engenharia de Controle Moderno, do autor Katsuhiko Ogata). Nesta aula iremos abordar o processo de modelagem de sistemas mecânicos, para tal utilizaremos o método de Newton. É de grande importância ressaltar que existem diversas formas de se realizar o processo de modelagem e que abordagens distintas podem ser observadas depen dendo da bibliografia de referência.

NOTAÇÕES aceleração [m/s2]; f, força Para facilitar e resumir a notação é comum representar a elocidade v por x, uma vez que v a Analogamente a aceleração a é representada por x , uma vez que 2. dx dt d 2x dt2 REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS Também é de grande Importância estabelecer um padrão de comunicação gráfico. Qualquer dispositivo mecânico pode ser representado, basicamente, por três elementos: Massa, Mola e Amortecedor. A Tabela 1 apresenta a representação gráfica de cada um desses elementos além de outras situações que geralmente irão aparecer em nossos exercícios.

Prof. MSc Eng. Anderson Harayashiki Moreira Aula OI — Modelagem de Sistemas Mecânicos de Translação Tabela 1: Representação gráfica dos elementos utilizados na modelagem de sistemas 2 DE 9 dada por fbC] b 0 x Referência de sentido de deslocamento positivo 3. MODELAGEM DE SISTEMAS MECÂNICOS DE TRANSLAÇÃO Para se obter o modelo matemático de um sistema me cânico recomendo realizar as três etapas a seguir: 1. DCL (Diagrama de Corpo Livre): etapa para identificar todas as forças presentes no sistema em estudo; 2.

Leis dos Elementos: etapa para descrever todas as forças presentes nos elementos em estudo (massa, mola e amortecedor); 3. Leis de Interconexão: etapa para relacionar todas as forças resentes no sistema em estudo com objetivo de obter a EDM (Equação Diferencial do Movimento) . 2 Com objetivo de apresentar a aplicação das três etapas apresentadas acima no process o de modelagem de um sistema mecanico de translação iremos modelar o sistema Massa -MolaAmortecedor.

EXEMPLO 1: Obter a EDM assa-Mola-Amortecedor 3 gerar forças contrárias a direção do movimento (neste exercício foi adotada arbitrariamente como sentido positivo o sentido da esquerda para direita como apresentado na seta de referência). ETAPA 1: DCL Nesta etapa deve ser desenhado o corpo em estudo, bloco de assa m, e nele ser colocado todas as forças presentes no sistema, Inclusive as força externa. O DCL do exemplo encontra -se na Figura 2. Figura 2: DCL do sistema Massa-MoIa-Amortecedor Obs. : As forças f, fke fb eram esperadas, porém, a força fi também aparece no DCL.

A força fi corresponde a força de inércia, um artifício que reduz os erros durante o processo de modelagem (comprovado pelo autor deste trabalho ao longo dos anos lecionando esta disc iplina). A força fi é expressa por fi C] m C] a e possui sentido contrário ao do movimento, no caso do xemplo, para a esquerda (mesmo sentido das forças fk e fb). Finalizado o DCL pode-se se iniciar a próxima etapa. ETAPA 2: LEIS DOS ELEMENTOS Nesta etapa deve-se listar todas as forças presentes no sistema e escrever as equações que às descrevem.

Obs. : Não é necessário listar a força externa f, uma vez que esta é vista como uma constante, ou melhor, uma entrada como será visto em aulas fut uras. A seguir são apresentadas as equações que descrevem cada uma das forças: f k k 0 x (forca gerada pe 4DF9 LI b C] x (força gerada pelo amortecedor) fi 0 m x (força de inércia) De posse de todas as equações pode -se passar para a próxima etapa que consiste em estabelecer uma relação entre cada uma das forças e suas respectivas equaçoes. prof. MSc Eng. Anderson Harayashiki Moreira Aula 01 – Modelagem de Sistemas Mecânicos de Translação ETAPA 3: LEIS DE INTERCONEXÃO Uma maneira de se relacionar todas as forças pode -se dar por meio da Lei de D’Lambert que nos fornece que em um corpo de massa constante o somatório de forças externas é igual ao produto da massa e da aceleração do corpo, ou seja: ext i Como em nosso DCL Já consideramos a força de inércia fi, ambém chamada de Força de S amortecedor.

Assim como o amortecedor o atrito trabalha se opondo ao movimento, ou seja, gera uma força contrária ao sentido do movimento. k b Figura 3: Sistema Massa-Mola com atrito ETAPA 1 : DCL fk fb Diferentemente do exemplo anterior, neste exemplo apenas será apresentado a solução de cada uma das etapas, ficando a cargo do leitor a interpretação, devido o processo de resolução ser idêntico ao do Exemplo 1. fkClkClx corpos também será necessário elaborar dois DCL um para cada corpo em estudo.

Os elementos que interligam os dois corpos (mola e mortecedor) geram forças que devem aparecer nos DCL dos dois corpos. Um ponto de grande importância que deve ser considerado antes de se iniciar a construção do DCL refere-se aos deslocamentos xl e x2. Deve-se adotar qual dos dois deslocamentos é maior, ou seja, determinar se o bloco m2 puxa o bloco ml ou se o bloco m2 é empurrado pelo bloco ml. O autor deste trabalho particularmente prefere adotar x2 Cl xl Cl 0 , fazendo com que o bloco m2 puxe o bloco ml, uma vez que a única força externa esta ligado ao corpo 2.

Cabe ressaltar que a escolha de uma configuração diferente não interfere no resultado da odelagem, desde que se mantenha a coerência durante todo o processo de modelagem. Adotando x2 xl O , temos: fkl fil fk2 f bL]boxz Uma atenção deve ser dada às equações iii e iv, como pode-se observar em vez de apenas um deslocamento ou uma velocidade, temos uma diferença de deslocamento n x2 Cl xl n e de velocidade 5 Prof. MSc Eng. Anderson Harayashlki Moreira Aula 01 — Modelagem de Sistemas Mecânicos de Translação onax1L].

Isto deve-se ao fato que só aparecerá forças entre os corpos caso um dos corpos se desloque mais que o outro, ou seja, exista um movi mento elativo entre os corpos. Atenção esta situação é muito comum e deve-se analisar cuidadosamente cada caso (exerc ício) e não decorar que entre dois corpos deve-se utilizar a diferença n x2 xl , uma vez que esta deve ser compatível às considerações adotadas b nâmica do sistema, esta é 8 DE 9 XI Obxn Okl XI (I) 4.

Corpo m2 f n bxl n k2x1 n m2 n bx2 k2x2( CONSIDERAÇOES FINAIS O método apresentado nesta aula é apenas uma sugestão, aos olhos do autor deste trabalho, este método é eficaz do ponto de vista de reduzir o n úmero de erros durante o processo de modelagem , sto deve-se ao fato de cada uma das etapas conduzir o leitor a uma solu «o organizada e sucinta.

Ao se adquirir prática no processo de modelagem, pode -se eliminar o processo em etapas, porém, neste momento inicial do estudo o autor deste trabalho pondera ser importante seguir o m étodo sugerido. O processo de modelagem apesar de aparentar ser simples necessita de muita aten ção e prática sendo necessário treinar, para tal é sugerido alguns exercícios na sequência, caso sinta a necessidade de praticar mais, recorra a literatura especializada. 5. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Obter a EDM dos sistemas a seguir. a) b) g