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Capítulo 9 Momentos de inércia das figuras planas 9. 1 Introdução Definições: eixo de simetria: recta, que se existir, divide a figura em duas partes tais que estejam uma para a outra como um objecto para a sua imagem no espelho. centro de simetria ponto de cruzamento de dois eixos de simetria. Uma figura plana só poder ter um centro de simetria. ii o momento estático da relação a um pólo 0 ( r dA uma figura em 3 p onde dA é a área elementar e r representa o vector posição da área elementar ao ponto O. Os momentos estáticos em relação aos eixos de simetria são sempre nulos. A 9. 2) onde r é a distância ao eixo da área elementar dA. Em relação a dos eixos coordenados x e y: lxx = y 2dA,• lyy = X2dA. (9. 3) O momento de inércia esta relacionado com o efeito dos sistemas de forças distribuídas numa área (volume). momento polar de inércia de área A de uma figura em relação ao eixo z ou um pólo (ponto O origem dos eixos coordenados) é dado por: Ip (x2 +Y2) dA = lxx + IYY produto de inércia de área A de uma figura em relação a dois eixo coplanares com ela, eixos xe V, é dado por: lxv – 2 3 área a partir do eixo. A unidade SI [m].

Observações O momento e inércia é momento do momento estático. O momento de inércia e o momento polar inércia são sempre positivos. O produto de inércia pode tomar valores positivo, negativo ou nulo. 9. 2 Cálculo dos momentos de inércia por integrais Rectângulo Os momentos de inércia em relação aos eixos x e y. dlxx -y 2 dA = y 2 bdy dlxx dlyy h dA=hdx a EiEiE0 iiiE bh3 3 0 b hb3 x2 hdx = 3 0 y 2 bdy = xx = dlyy = x2 dA = x2 bdx lyy – 30F dlp- 21H3dr= TIR4 2 Tendo em conta que qualquer eixo que passa pelo ponto O é eixo de simetria lxx = lyy e utilizando a relação 9. : Ip = lxx + lyy Os aios de giração são: kp Ip = A R TIR4 /4 ; 2rrR2 2–1 R 2 kx = ky 4 lxx lyy = 11R4 Ip = 24 9. 3 Variação dos momentos de inércia em relação ao translação dos eixos O momento de inércia em relação a eixos do referencial (x , y) paralelos aos eixos do referencial (x , y) situado a uma distância d (dx , dy pode ser expresso em função dos momentos de inércia calculados em relação aos eixos x , y e a distância d, sendo os momentos de inércia duma área elementar dA: 9. Variação dos momentos de inércia em relação ao rotação dos elxos 31 dx 40F o teorema de Stener ou teorema de transmissão de momentos u dos eixos paralelos. O momento de inércia polar resulta: Ip = IO lxx + lyy= IG + (d2 + d2 )Axy Para determinar os momentos e o produto de inércia de uma figura plana relativamente a um referencial qualquer (x , y ) que se obtém de (x , y) através de uma dy dA = lxx +2 dy sx + d2 A y (9. 8) (9. 9) (9. 10) d2x 32 Momentos de inércia das figuras planas rotação com ângulo a, escrevem-se as coordenadas do centróide da área elementar no novo referencial (x , y ) nos antigos (x , y). cos(ei, ej A matriz T contém as componentes dos versores dos novos eixos (x , y ) nos antigos (x , y). A matriz dos cosenos directores dos novos eixos nos antigos: T = cos(xl , xl ) cos(xl , x2 ) cos(x2 , xl ) cos(x2 , x2 ) cos a — sin a sin a cos a A matriz T é ortogonal T -1 = T . Os tensor da inércia no novo referencial calcula-se pela relação da transformação ortogonal do tensor l: = T IT T = cos a — sin a sin a cos a lxx —lxy —lyx lyy cos a sin a— sin a cos a (9. 11) (9. 12) (9. 3) lxx = lxx cos2 a + lyy sin2 a – 21xy sin a cos a lyy = lxx sin2 a + lyy cos2a 21xy sin a cos a lxy = lyx = (lxx — lyy ) sin a cos a + lxy (cos2 a — sin2 a) 9. 5 Momentos principais de Inércia 3 lxx —lxy —lyx lyy 9. 5 Momentos principais de inércia para qualquer ponto O existe um determinados par de eixos (xl , XII ) ortogonais para qual o produto de inércia anula-se e o momento de inércia I xx tem valor máximo. Estes eixos chamam- se eixos principais ou direcções principais de inércia e os momentos de inércia chamam-se momentos principais de inércia. A partir da equação (9. 1) temos: dlxx I a=a0 = —21xy cos 2a — (lxx – lyy ) sin O da tan 2aO – -Ixy lxx – lyy2 — direcções principais (ao ) Os momentos principais de inércia sempre II > III lxx + lyy + II = lxx + – = 2 lxx – 2 6 OF 2 lxx + lyy — 22+ = 2 lxx – IYY 2 lxx – 2 Os momentos principais de inércia representam os valores máximo e minimo que os momentos de inércia da área da figura pode tomar em relação aos eixos ortogonais com origem no ponto O qualquer. Se o ponto O G for o centro de gravidade da figura o referencial (xl , XII ) que diagonaliza o tensor da inércia chama-se referencial principal central de inércia.

Utilizando a transformação ortogonal para os tensores bidimensionais Interesse agora a transformação de referencial (x , y) para (xl , XII ) – referencial principal – em relação a qual o tensor de inércia é diagonal. As componentes deste tensor chamam-se momentos principais de inércia. lxx lxy —lyx lyy I = TI TTI = II 00 III 34 Utilizando a circunferência de Mohr (tensores bidimensionais) Em alternativa pode-se recorrer ao circunferência de Mohr, o que é uma representação gráfica da lei de transformação do tensor l.

Os par (lxx , -Ixy ) e (-lyx , lyy ) representam as componentes do tensor associadas à direcção x e y, respectivamente. • Marquem- se na circunferência, as componentes do tensor no referencial odado, (x, y): nt OC + R cos 2a —R sin 2a -R sin 2a OC – R cos 2a -IXY -IV IYY OC-Rcos2a 2 II O C OC+Rcos2a 2a 1 -Rsin2a Rsin2a oc Inn Convenção: a componente lyx marca-se na circunferência de Mohr com sinal trocado. Os pontos 1 e 2 tem as coordenadas l(lxx , -lxy ) e 2(Ixx , lyx )) • Fórmulas: lxx + lyy OC = 2 tan 2a – R: lxx — lyy 2 22+1xy lxy — direcções principais lxx — lyy 2 II = OC + R III = OC — R Nota-se que a rotação real dos eixos coordenados é no sentido contrario com metade do ângulo à rotação na circunferência de Mohr. Nota: OC = lxx + lyy II + III = 22 (é invariante) 9. Momentos de inércia das figuras compostas 35 • Cada ponto da circunferência representa as componentes do tensor associadas a uma das direcções, a qual roda com um ângulo duplo e em sentido contrário (-2a) ao dos respectivos eixos coordenados Uma figura pode ser dividida em figuras simples. Nestas condições, os momentos de inércia da figura composta a um eixo obtém-se por soma algébrica soma/diferença) dos momentos de inércia de cada figura c m relação a esse eixo. 8 OF soma dos raios de giração parcelares. Para calcular o raio de iração é necessário calcular o momento de inércia da figura composta.

Problema 9. 9 Exemplo de cálculo para um anel com raio RI e R2. Contudo, antes de adicionar/(subtrair) os momentos de inércia das áreas parcelares, poderá ser necessário utilizar o teorema dos eixos paralelos elou rodar os eixos para transferir cada momento de inércia para o eixo desejado. Problema 9. 10 Calcule os momentos de inércia lx e ly para a figura composta. quad + 2 1 sc = I quad + 2(l sc + Asc d2 ) lx = lx y x xG xG sc lxG = 20 0 20 20 20 x RI Escolha-se um referencial arbitrário (x , y). Comp. lyGi Ai Definições: 0 DF 13