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1 Introdu. c-ao Como se sabe os conceitos dos entes (objetos) matem aticos vieram evoluindo ao longo do tempo, como por exemplo o conceito de fun,c-ao (ver [5]). Enquanto o conceito (definis -ao) de funac-ao hoje encontra-se “fechado”; digo, perfeitamente compreendido, o mesmo n -ao acontece com o importante conceito de n ‘ umero, assim creio. Neste artigo, n -ao apenas estaremos mostrando que os matem aticos ainda hoje tropeacam no co construiremos uma d 3 o tamb’em ividendos; digo, uma — de tal ente — a qual m, , p defini,c-ao plenamente satisfat ‘ 2 Sobre os n • umeros complexos

Que os matem ‘ aticos do s • eculo XVIII ainda n -ao tinham uma compreens ao satisfat’ Oria do conceito de n • umeros – em particular o de n umeros complexos ‘ e o que se depreende da citas -ao a seguir (ver [1]): A ambivar encia dos matem ‘ aticos do s’ eculo XVIII em rela,c-ao aos n ‘ umeros complexos pode mais uma vez ser evidenciada em Euler.

Apesar de seus trabalhos em que ensinava a operar com eles, afirma “Como todos os n • umeros conceb ‘ Iveis s -ao maiores ou menores do que zero ou iguais a zero, fica ent-ao claro que as ra ‘ Izes quadradas de n’ umeros negativos n -ao podem ser inclu’ Idas entre os n umeros sta circunst ancia nos conduz ao conceito de tais n’ umeros, os quals, por sua pr ‘ opria natureza, s -ao imposs ‘ Iveis, e que s -ao geralmente chamados de n ‘ umeros imagin ‘ arios, pois existem somente na imaginas -ao. ” www. dmat. ufrr. br/ gentil ) gentil. silva@gmail. om Gentil 2 Observe que, na mente de Euler, “todos os n • umeros conceb ao malores ou menores do que zero ou iguais a zero”; o que prova que Euler e, por extens -ao os demais matem aticos, n -ao havia ainda atinado com uma necess aria do conceito de n ‘ umero. Nota: Como dissemos o conceito de n’ umero veio evoluindo ao longo dos ‘ eculos; portanto ‘ e perfeitamente compreens ‘ Ivel que os matem aticos, de ent- ao, n -ao se sentissem ‘a vontade com este conceito, bem sabemos que isto em nada diminui os m ‘ eritos destes grandes matem ‘ aticos, o que n -ao nos impede, todavia, de p- or em evid encia esta curiosa particularidade.

Agora, o que • e de surpreender ‘e que uma parcela consider avel dos matem ‘ aticos hodiernos ainda se sintam tr*opegos quanto ao conceito em quest-ao, como estaremos mostrando. Na literatura encontramos algumas abordagens (defini,c-oes) para os n ‘ umeros complexos; para o prop ‘ osito que temos em mente elegeremos uas definis -oes – as quais acreditamos serem representantes das demais. Dl. Na refer- encia [1] encontramos: 1. Introdu. c-ao 23 representantes das demais. 1. Introdu,c-ao niciaremos lembrando que as opera. -oes de soma e produto de n umeros reais possuem um certo n ‘ umero de propriedades fundamentais, que s -ao as seguintes: (1) A adis -ao e a multiplica. c-ao s -ao comutativas, isto b s -ao n • umeros reais, ent-ao a+b=b+a, ab ba. (2) A adis -ao e a multiplica. c-ao s -ao associativas, isto ecs aon umeros (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c a(bc). (3) A multiplicas -ao ‘e distributiva relativamente ?? e, se a, becs-ao n’ umeros reals, a(b + c) = ab + bc. ‘a adi. c-ao, isto (4) Existem e s -ao unicos os n’ umeros Oe 1 satisfazendo as condis – oes: a +0 = a, al = a, para todo real a. 5) A todo real a corresponde um O, um ‘ unico n’ umero real 1 a , tais que ‘ unico n’ umero real (-a), e sea Existem muitas maneiras de definir o conjunto dos n ‘ umeros complexos. Adotaremos a seguinte: em C e: a) Existe um n’ umero complexo com i2 = b) Todo n ‘ umero complexo pode ser escrito de uma maneira ‘ unica na forma Gentil 3 a+bi, onde a e b s -ao n’ umeros reais (a ‘e chamado parte real e ‘e chamado parte imagin ‘ aria do complexo a+bi). Usa-se a notas -ao Re(a+bi) = ae Im(a+bi) = b.

Usando as propriedades de (1) a (5), podemos operar com complexos de maneira an• aloga ‘a que operamos com reais, com o cuidado de tomar i2 = —1 . Vamos a definis -ao do segundo autor: D2. Na refer- encia [2] encontramos: 1. Seja R o conjunto dos n’ umeros reais. Consideremos o produto cartesiano isto ‘e, R2 ‘e o conjunto dos pares ordenados (x, y) em que x e y s aon umeros reals. Vamos tomar dois elementos, (a, b) e (c, d), de R2 para dar tr- es defini. c-oes important Issimas: ) igualdade: dois pares ordenados s -ao iguais se, e somente se, apresentarem primeiros termos iguais e segundos termos iguais. ) adisc- ao: chama-se soma de dois pares ordenados a um novo par ordenado cujos primeiro e segundo termos s -ao, respectivamente, a soma dos primeiros e a soma dos segundos termos dos pares dado. c) multiplica. c-ao: chama- dois pares ordenados a 4 23 ordenados a um novo par ordenado cujo primeiro termo e a diferensca entre o produto dos primeiros termos e o produto dos segundos termos dos pares dados e cujo segundo termo e a soma dos produtos do primeiro termo de cada par dado pelo segundo ermo do outro. (a, b) • (c, d) = (ac – bd, ad + bc) 2.

Definis -ao Chama-se conjunto dos n ‘ umeros complexos, e representa se por C, o conjunto dos pares ordenados de n’ umeros reais para os quais est-ao definidas a igualdade, a adisc-ao e a multiplicas -ao conforme o item 1 3 Uma exegese das defini,c-oes acima nicialmente faremos uma an alise da primeira definis -ao (isto • e, a do livro [1]). Antes, esclarecemos que na matem ‘ atica existem certos conceitos delicados (sutis) os quais devem ser tratados com bastante cuidado (respeito, are), sob pena de permanecerem obnubilados (confusos).

A nossa an alise seguir n ao deve ser confundida com pedantismo porquanto o conceito de n umero e assaz sutil e n” ao podemos nos descuidar em seu trato. Gentil 4 Pois bem, na primeira definis -ao, (Dl . ), o(s) autor(es) nos informa(m) de que “Existem muitas maneiras de definir o conjunto dos n umeros complexos”. Se ‘e assim, ao nosso ver, o autor foi infeliz em ter feito aquela escolha. A sua e o que podemos chamar de uma definisc-ao perdul ‘ aria e esot erica (nebulosa).

Com efeito, ‘e perdul’ ari s OF23 uma definiac-ao perdul• aria e esot erica (nebulosa). Com efeito, ‘e perdul aria porquanto o autor assume (postula) ue as opera,c oes complexas devem satisfazer as propriedades de (1) a (5), ‘e esot enca porquanto o autor imp-oe a exist- encia de um n’ umero complexo i tal que 12 —1 . Oportunamente estaremos provando que nada disto ‘e necess’ ario. Quem estuda este assunto pela primeira vez tem a sensaac-ao de que um tal n’ umerow, com uma tal propriedade, caiu do c’ eu.

N -ao achamos que seja necess aria esta prestidigitas -ao uma vez que, com uma ligeira mudansca de perspectiva, podemos provar e deixar tudo isto transparente, tal como faremos no momento oportuno. Em b) postula-se que todo n’ umero complexo ‘ e da forma a + bit om a e b reais. Ora, se eu ainda n -ao sei o que ‘e um n’ umero complexo isto me parece um tanto quanto esot’ erico; uma vez que me foi dito que + ‘e uma operas -ao chamada de adis -ao, isto me deixa confuso quanto ao poss wel significado de a + bis Com efeito, o que poderia signTicar a adi,c-ao do n’ umero real a com o n’ umero, sei l’ a o qu- e, bi?

Ademais, qual poderia ser o poss wel significado da multiplicas -ao, bi, de um n’ umero real por um n’ umero complexo? A minha cabe. ca est• a muito confusa! Mais ‘a frente (pg. 69) lemos: “Da defini,c-ao adotada, decorre que podemos pensar no n mero complexo a + bi como o ponto ( 6 a + bi como o ponto (a, b) cujas coordenadas s-ao a e b, ou ainda como o vetor (isto ‘ e, o segmento orientado) de origem na origem O do sistema de coordenadas e extremidade (a, b), isto ‘e, o complexo z ‘e representado pelo vetor Oz. Em seguida, “No primeiro caso, o ponto (a, b) ‘e chamado imagem do complexo z = a + bi e no • ultimo caso, os n’ umeros a e b s -ao chamados componentes do vetor Toda esta celeuma apenas refor,ca minha convic,c-ao de que os matem ‘ aticos ainda hoje titubeiam quanto ao que seja um n • umero, n -ao t•em uma id eia distinta. O segundo autor me diz que (a, b) ‘e sim um n’ umero complexo, enquanto o autor em consideras -ao me diz que “podemos pensar em (a, b) como sendo um n’ umero complexo”. Isto certamente pode confundir a cabe,ca de quem estuda o assunto pela primeira vez. erto que na matem ‘ atica um mesmo objeto pode recebe defini. c-oes distintas, mas tamb’ em • e certo que devemos mostrar que estas definisc-oes se equivalem; digo, referem-se ao mesmo ob’eto. Por sinal, ‘e isto mesmo o na segunda obra (livro n umero complexo, a seguir a ogica do primeiro deveria dizer que este n • umero “pode ser pensado como a + bi”. Reitero: por qualquer defini,c-ao que se resolva adotar devemos (‘e poss ‘ Ivel) mostrar que tanto a + bi quanto (a, b) s -ao n umeros complexos leg ‘ ‘timos e n -ao que “um n ‘ umero complexo pode ser pensado como um par (a, b)”.

N umero • e um conceito abstrato que, todavia, pode tomar corpo de diversos Ali ‘as at’e o presente momento n -ao se sabe o que • e um n ‘ umero complexo. Gentil 5 modos. Ou ainda, fazendo uma analogia com o universo da inform ‘ atica: um n’ umero ‘e um software que pode “rodar (tomar corpo) em hardwares distintos. Quanto a definisc-ao D2. n -ao temos nenhuma objesc-ao a fazer. Daqui a pouco provaremos que tanto (a, b) quanto a + bi s -ao n umeros complexos leg ‘ ‘timos, antes faremos uma digress-ao com o escopo de deixar claro o importante conceito de n’ umero.

N -ao ‘e necess ario que n • umero seja um conceito primitivo Peano, em sua axiom ‘ atica para a constru,c-ao dos n ‘ umeros naturais, toma n’ umero como um conceito primitivo, n-ao achamos que isto seja necess ario uma vez que podemos defini-lo. Esta atitude de Peano, pelo ao menos a mim, mostra que -ele, tamb’ em, n-ao sentia-se ‘a vontade com o conceito em quest-ao. Desde j • a chamamos a aten,c-ao do leitor para um ponto que onsideramos importante: Para se comp j a chamamos a aten. -ao do leitor para um ponto que importante: Para se compreender (ou estabelecer) determinados “conceitos delicados” em matem atica (como • e o de n • umero) n -ao h • a como n -ao ser estritamente formal (rigoroso), n -ao trata-se de pedantismo, mas de uma necessidade intr’ Inseca ao assunto que se deseja compreender. Uma compreens-ao da g – enese de certos conceitos, repetimos, exige um formalismo adequado. Em sendo assim, tendo em conta nosso objetivo: definir – de modo satisfat orio — o que vem a ser um ‘ umero, n -ao exitaremos no rigor necess ‘ ario.

Desde j’ a deixamos claro que tudo o que se segue ‘e a nossa maneira pessoal de tratar essa quest-ao, ela tem nos rendido bons dividendos. 4 Conjuntos x Estruturas “No in’ Icio era o caos . e Deus disse: ‘Que exista a luz! ‘ E a luz come,cou a existir. ” (Gn 2:3) Para, posteriormente, darmos uma defini,c-ao de n’ umero precisamos, antes, fazer distin,c-ao entre conjunto e estrutura. Em matem ‘ atica s -ao freq” uentes conjuntos munidos de uma ou mais opera,c oes, que gozam de certas propriedades. Esses conjuntos com tais operas- oes e respectivas ropriedades constituem aquilo que denominamos estruturas alg ebricas.

Para nos auxiliar em nosso objetivo (deixar claro a diferenaca entre conjunto e estrutura) vamos recorrer a uma analogia: Suponhamos um conjunto M cujos elem elementos s -ao materiais de construac-ao, assim: M = {tijolo, cimento, telha, pedra, areia, “sobre” este conjunto podemos construir diversas estruturas, por exemplo: – Edir ‘Cio – Casa – Ponte V ao devemos confundir o conjunto M com a “estrutura” edif ‘Cio, por exemplo. Gentil 6 Mas este tipo de confus-ao ‘e o que comumente se faz quando se fala de conjuntos num ericos.

No nosso entendimento um “conjunto num ‘ enco” n ao e um conjunto, mas sim uma estrutura. H’ a tanta imprecis-ao em considerar um “conjunto” num enco como um conjunto, quanto confundir o edif’ Lio com o conjunto M. – Com um jogo de xadrez tamb’ empodemos jogar damas. Em outras palavras, com o conjunto das pescas de um xadrez podemos construir duas estruturas: dama e xadrez. – O mesmo acontece com respeito ao conjunto das cartas de um baralho, com o qual podemos ter diversos jogos (estruturas). Vejamos um exemplo retirado da matem ‘ atica. Considere o conjunto de pontos (x, V): x, YER 0 DF 23