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NÚMEROS PERFEITOS Edson Luís de Lima Marques professor de Matemática – RS E-mail:edsonllmarq@gmail. com RESUMO O presente trabalho pretende demonstrar a impossibilidade da existência de números perfeitos ímpares, que ainda é uma das questões em aberto algébricos e a reduçã palavras-chave: Núm ímpares e divisores n INTRODUÇÃO or7 Sv. çx to view o métodos meros perfeitos Considerando a um numero natural composto qualquer e p um número natural primo, temos nos dois casos as seguintes funções: 10 – Função t (n) que representa o número de divisores naturais de n, se n = a, temos a função a) = quantidade de divisores de a, se n = p temos a função (p) -2. Ex: D (18) = – t(18) D (7) {1,7} 20 – Função n (n) que representa o produto de todos os divisores que representa a soma de todos os divisores naturais de n, se n — a, temos a função o (a) = soma dos divisores de a, se n = p temos Ex: 1+3+5 +15 24 D {1,23} +23 = 24 1.

Chamamos de número perfeito o número natural em que a soma de todos os seus diviso-res naturais é o dobro do próprio número, isto é, o (n) 2n. Usando esta relação temos os núme- ros abundantes, em que o (n) > 2n, e os números deficientes em que a (n) < 2n. Ex: Número perfeito D (28) = o (28) = 2 x 28 = 56. Número abundante D (12) {1 o (12) 28 > (2 x Número deficiente D (10) = (10) = 18 < (2 x 10).

Já foi comprovado que existem infinitos números abundantes e deficientes, e também que, para qualquer número perfeito a soma do inverso dos seus divisores é igual a 2. Até hoje só se conhecem números perfeitos pares e já foi comprovado com o uso de congruência que todos eles possuem algarismos finais 6 ou 28. Todos os números perfeitos pares são triangulares da for- ma T (n) n (n+l) / 2.

Euclides em seus “Elementos” faz a seguinte proposição Se tantos números quanto quisermos, começando com a unidade, forem colocados continuamente em dupla proporção até que a soma de todos seja u PAGFarl(F7 começando com a unidade, forem colocados continuamente em dupla proporção até que a soma de todos seja um primo, e se a soma for multiplicada pelo último, o produto será per-feito, em notação moderna, se Sn — _ 1 +2 + + 2n—1 =2n-1 sendo ) será perfeito, ou, se 2n – 1 é um primo, então, 2n- 1 (2n – 1 primo 2n – 1 (2n— 1 ) é perfeito, de modo que o (n) = o (2n – 1 (2n- en- 1) . n = 2n (2n-1 ) = 2n, este teorema e Euclides foi seguido por um teorema de Euler que de maneira independente chegou, vinte séculos mais tarde ao mesmo resul- tado. Portanto a única condição para que um número par seja perfeito é que tenha 2n- 1 prmo, com n 22 na forma 2n— 1 (2n- 1 Não se conhece ainda nenhum número perfeito ímpar, tudo o que se tem são condições que restringem sua existência.

Pretendemos provar a inexistência de números perfeitos ímpares, utilizando uma nova abordagem para o assunto, considerando K (Kappa) um número perfeita qualquer, teremos Kp (n) um número perfeito par de modo que Kp (n) = 2n 1 (2n— 1 ), sendo o termo (2n – 1 ) primo, com 1/0 (n) = E (1/D(n)) = 2. 2.

Considerando Ki (n) um número perfeito ímpar (se existir), todo número ímpar pode ter uma quantidade par ou ímpar de divisores, se tiver uma quantidade ímpar de divisores será um quadrad PAGF3rl(F7 par ou ímpar de divisores, se tiver uma quantidade ímpar de divisores será um quadrado perfeito, com um termo central h como divisor, de modo que h2 = Ki, e se tiver uma quantidade par de divisores não será um quadrado perfeito, mas em ambos os casos um im- par qualquer a terá sempre um maior divisor z diferente de a e m menor divisor a diferente de 1, de modo quez a/ a, sendo a um número composto ímpar qualquer, seus divisores serão todos (mpares. D (a .. ,x,y,z,a},ese afor perfeito implica que seus divisores terão o (a) = (1 + a + b + c + + x + y + z + b . y = c. x , etc. + y + , sendo a. z = (1 + a» .. +x+y+z), e, (a . z- a) = (1 +b+c+ +x+y+z), colocando em evidência a (z- 1 ) — _ (1 +b+c+.. +x+y+z), sendo z ímpar, obrigatoriamente ( z- 1 ) será par e, isolando-se o termo a teremos a -(1 + b + c + +x+y+ (z -1 ) com duas hipóteses a conslderar, sendo a = a/ z e di-visor natural de a. 2.

Se o numerador (1 + b + c + x + y + z ) for Ímpar, dividido por ( z- 1 ) par implica que o termo a será decimal, o que é impossível, pois a a/ z, sendo z e a divisores inteiros de aa, o que torna a hipótese absurda. 2. 2 impossível, pois a a/ z, sendo z e a divisores inteiros de a. , o 2. 2 Se o numerador (1 + b + c + + + + x y z) for par, divldido por ( z- 1 ) par implica que o termo a será par, mas, sendo a um divisor de a não pode ser par com a = a/ z o que torna a hipótese absurda. Para (1 + a + b + C + sendo (1 + b + c + sabendo que, sendo a perfeito par ou impar, a soma dos inversos e todos os divisores de a será sempre 2, segue que 1 / o (a ) —2, (1/1 para sendoc 1/1 + l/b+ (2 a- a- 11a, aa -a —a)/ aa. eu aa 1 ), sendo o termo ) , segue que 2 aaz az – az – 2 aa + a + a = a, cortando a em ambos os lados da equação temos que 2 aaz— az – 2 aa – ae que z (2 aa – a— a) = a (2a- 1), isolando o termo z, temos que z=a(2a-1 ) / 2 aa-a—a. com z = 2 aa -a / 2 aa — (a + a). Sendo o termo z divisor inteiro de a e o termo 2 aa par, se a for ímpar implica ímpar implica que o nu-merador do quociente z = 2 aa – a/ 2 aa – (a + a) será ímpar , e o denominador será par porque a ( ímpar ) a ( ímpar ) será par , o que torna z não inteiro,o que é uma hipótese absurda, porque z é um divisor inteiro de a. Se a for par implica que o numerador será par e o denominador será ímpar, sendo a única hipótese viável, para termos um z inteiro ímpar precisamos de, no mínimo um divisor de a par.

CONCLUSÃO Fica demonstrada, assim, a impossibilidade de existência de um número perfeito impar Ki (n), pois as condlçbes de existência de um perfeito ímpar Ki (n) são de que ele tenha pelo me-nos um divisor não inteiro ou pelo menos um divisor par ambas as condições são impossíveis conforme queríamos demonstrar. Podemos facilitar o estudo dos números perfeitos com a transformação de decimais em binários, onde os números perfeitos ficariam representados por uma sequência de n algarismos 1 seguida de (n – 1) algarismos 0 (zero), onde n e (n – 1) equivalem, respectivamente, aos expoen-tes dos termos de (2n – 1 ) (2n- 1 ),a seqüência “n” tem “n” primo, o termo (2n – 1 ) é conhe-cido como número de Lucas e sendo primo é chamado de primo de Mersenne. Sistema decimal ) PAGFsrl(F7 chamado de primo de Mersenne. binário ) K(3) 6 8 496 8128 33550336 ( Sistema 110 11100 (n algarismos 1 ) (n- 1 algarismos zero ) Alguns termos como o 1) não são perfeitos, porque, apesar de 11 ser primo, temos o valor de (2n – 1 ) 2047 que é composto ( 23 x 89 — 2047 ), e, consequentemente o valor do produto (2n – 1 ) (2n – 1 ) 2096128 que não é perfeito. REFERÊNC AS Silva, Luiz O. Teixeira da – Revista Militar de Ciência e Tecnologia; Editora do Exército, Rio de Janeiro – R], out/dez de 1984, págs. 70 a 78. Boyer, Carl Benjamin : Tradução de Elza F. Gomide – História da Matemática; Editora Edgar Blücher, São Paulo – SP, 1974.