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Teoria de Fourier – Domínio da Freqüência e Domínio do Tempo A teoria de Fourier estabelece que uma forma de onda periódica pode ser decomposta em harmônicos relacionados; senos ou cossenos em diferentes freqüências e amplitudes determinadas pela forma do sinal periódico. o primeiro harmônico ( fundamental) terá a mesma frequência do sinal periódico os demais terão freqüências que são múltiplos inteiros do fundamental. A teoria de Fourier nos fornece uma maneira de expressar os sinais no domínio da freqüência.

Aumentandose a quantidade de harmônicos para compor a forma de onda mais emelhança esta terá com sinal original. Como é impossível projetar um sistema que suporte um número infinito de frequências ( largura do sinal original será alguns harmônicos n se Quanto mais informa (harmônicos) de alta OF6 reprodução perfeita asos eliminando Icativamente. is componentes cessitará para reproduzir com fidelidade o Sinal original. Então quanto mais complexo for o sinal maior a largura de banda necessária para transmiti-lo.

O “duty-cycle” de uma série de pulsos periódicos é a relação entre o tempo em que o pulso (to ) permanece no nível lto e o periodo do pulso (T). DC = t O/ T Para um pulso quadrado ( DC = 0,5) a série de Fourier será representada por : V (t) = A sen ft+ A/3[sen 3 (211 ft)] + 5 ( 2nf t)] + “[sen 7 f t)] + 9 (2rt f O Circu Swipe to page circuito abaixo FIG. I gera um sinal de pulso quadrado. Conforme o número de harmônicos cresce a onda quadrada tera mais ondulações. Um infinito numero de harmônicos será requerido para reproduzir perfeitamente a onda quadrada.

FIGURA 1 O circuito abaixo FIG. 2 gera um sinal de pulso triangular. A série de Fourier será representada por: V (t) = A cos (2 ri f t) + A/32 cos 3 (2 f t)] + A/52 cos [5 (2 f t)] FIGURA 2 0 espectro de um trem de pulsos periódicos com um DC de 50% é apresentado na figura abaixo. O formato pontilhado é chamado de envelope. O primeiro cruzamento por zero será fo W t 0 onde t 0 será o tempo em que o pulso permanece em nível alto. O primeiro cruzamento por zero ( fo ) determina a mínima largura de banda requerida para “passar” o trem de pulsos com mínima distorção.

Note que quanto menor for a largura do pulso maior será a largura de banda requerida para transmitir o trem de pulsos com mínima distorção. Note também que a separação ntre linhas no espectro é o inverso do período ( I/T) do trem de pulsos. O circuito da figura abaixo irá demonstrar a diferença entre o domínio do tempo e o domínio da frequência. Também veremos que filtrando alguns harmônicos haverá alteração na FO se comparada ao sinal original. O gerador de freqüências gera um pulso periódico sendo este aplicado à entrada do filtro.

Na sarda do filtro o osciloscópio mostra a FO do trem e o analisador de espectro mostra o espectro de freqüência do sinal. O Bode Plotter mostra o diagrama de Resposta em Freqüência do filtro sendo possiVel medir a largura de ba ostra o diagrama de Resposta em Frequência do filtro sendo possível medir a largura de banda do filtro. O filtro é um Butterwoth passa – baixas ativo com 2 polos. 1- Monte o circuito da FIGURA 1 com: Varredura = 200»s (WT) Canal A = 5V/div (DC) 50mV/div (DC) Trigger ( pos edge, level=O , auto). anal 2- Acione a simulação por aproximadamente 2 segundos . Esboce abaixo a onda quadrada e o fundamental ( seno) . 3- Utilize o cursor para medir o período de um ciclo da onda quadrada e do fundamental (seno) mostre este valor no esboço acima. 4- Calcule a frequência (f) da onda quadrada e do fundamental elo período. Qual a relação entre a freqüência do fundamental e a frequência do pulso quadrado? Qual a relação entre as frequências harmônicas das senóides e a frequência fundamental? Qual a relação entre a amplitude de cada harmônico e a amplitude do fundamental? – Feche a chave A adicionado uma tensão dc . Simule novamente por 2 segundos. Se necessário ajuste novamente o osciloscópio. Esboce a nova onda quadrada no espaço abaixo. O que ocorreu com a onda uadrada? 3 6. 6- DesligandoA,abra as chaves E e F para eliminar o nono e o sétimo harmônico. Simule novamente or 2 segundos. Esboce a nova curva no espaço abaixo. 7- Ligando E e F ,abra a chave D para eliminar o quinto harmônico. Simule novamente por 2 segundos. Esboce a nova curva no espaço abaixo. 8- Abra a chave C para eliminar o terceiro harmônico.

Simule novamente por 2 segundos. O que ocorreu com o pulso quadrado? 9- Monte o circuito da FIGURA 2 com: Varredura = 200ps (Y/T) canal A = 5V/div (DC) 1 oomv/div (DC) Trigger ( pos edge, level=O , auto). Canal B: 10- Acione a simulação por aproximadamente 2 segundos. Esboce abaixo a onda triangular e o fundamental ( cosseno) . 1-lJtilize o cursor para medir o período de um ciclo da onda triangular e do fundamental (cosseno) mostre este valor no esboço acima. 12-Calcule a freqüência (f) da onda triangular e do fundamental pelo período.

Qual a relação entre a frequência do fundamental e a freqüência do pulso triangula ? Qual a relação entre as freqüências harmônicas das cossenóides e a frequência fundamental? Qual a relação entre a amplitude de cada harmônico e a amplitude do fundamental? 13-Feche a chave A adicionado uma tensão dc . Simule novamente por 2 segund 13-Feche a chave A adicionado uma ensão dc . Simule novamente por 2 segundos. Se necessário ajuste novamente o osciloscópio. Esboce a nova onda triangular no espaço abaixo O que ocorreu com a onda quadrada? 4- Desligando A,abra as chaves E e D para eliminar o sétimo e o quinto harmônico. Simule novamente por 2 segundos. Esboce a nova cuwa no espaço abaixo. 15- Fechando E e D,abra a chave C para eliminar o terceiro harmônico. Simule novamente por 2 segundos. O que ocorreu com a onda triangular? 16- Monte o circuito da FIG. 3 com os ajustes: onda quadrada 1 kHz, DC= 50%, tensão de pico 2,5 V, offset = 2,5V . No osciloscópio: Varredura = 500ps/div , canal A 5V/div dc , canal B 5V/div dc , trigger auto. 17- Acione a tela do osciloscópio e simule por 2 segundos .

Desconsiderando as diferenças de amplitude as FO de entrada e de saída do filtro são iguais. 18- Com os cursores meça o período (T) e o tempo nível alto (to) do valor de entrada. T= 19- Calcule o DC. DC = Como este valor calculado se compara com o valor do ajuste DC no gerador de funções. 20- Com o Bode Plotter ajustado para : Vertical- F 10 dB e -40 dB , Horizontal – F 200 kHz e I – 100 Hz efetue a simulação e meça a freqüência de orte. fc = 21- Com o analisador de espectro ajustado para : Freq. Start O Hz , Center = 5 kHz , End = 10 kHz) e Ampl. (Lin, Range IV/ div), Res 50 Hz, efetue a simulação até que a resolução das frequências estabilizem . Use o cursor para medir a amp S Hz, efetue a simulação até que a resolução das freqüências estabilizem . lJse o cursor para medir a amplitude do Fundamental até o nono harmônico preencha a tabela abaixo. Freqüência (kHz) fl f2 f3 f4 f5 f6f7 f8 f9 Que conclusões podemos obter sobre a diferença entre os harmônicos pares e impares da onda quadrada ujo DC foi obtido no passo 19?

Que conclusões podemos obter acerca da amplitude de cada harmônico comparado com o fundamental da onda quadrada cujo DC foi obtido no passo 19? Amplitude to – Qual será o espectro de freqüência esperado para a onda quadrada cujo DC foi obtido no passo 19? Baseado na freqüência de corte medida no passo 20 quantos harmônicos da onda quadrada se espera que “passem” pelo filtro. Baseado na resposta acima haverá grande distorção da onda quadrada na saída do filtro. 22- Ajuste ambos os capacitores do filtro para 50% (2,5 nF) cada . Efetue nova simulação por lguns segundos.

Desconsiderando amplitudes, os sinais na entrada e na salda do filtro são iguais? 23- Com o Bode plotter meça a frequência de corte do filtro. fc = 24- Com o Analisador de Espectro efetue uma simulação até que o espectro se estabilize , preencha a tabela abaixo: Freqüência (kHz) fl f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 Amplitude Como a amplitude de cada harmônico pode ser comparada com os valores obtidos na tabela anterior. Com relação à frequência de corte obtida em 28 é esperada grande distorção na saida do filtro. Sua resposta no passo 25 confere com esta conclusão.