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Faculdade Anhanguera de Jacareí Engenharia de Produção Álgebra Linear Alunos I RA Amanda Alves Torres | 1186426881 Ah! ATPS NOSSO!! ARA! URU!! ! Ah! ATPS NOSSU!! AHA ! UHU!! ! Sharise Lopes Miranda 2559461084 Vanessa F. de Amori ATPS – Etapa 3: Aula Etapa 4: Aula Etapa 5: Aula org to view -es Lineares ões Lineares s: Regra de Cramer Etapa 6: Aula tema: Sistemas de Equações Lineares: Gauss-Jordan Prof . Anderson Jacareí, 08 de junho de 2011.

Referências Blbliográficas: 1 . Antônio Nicolau Youssef Elizabeth Soares . Vicente paz Fernandez. Matemática 1a Ed. São Paulo: editora scipione, 2009 2. David C. Lay. Álgebra Linear e suas aplicações. 2a Ed. Rio de Janeiro: itceditora 1999 3. Boldrini/ Costa Figueiredo/ Wetler Álgebra Linear. 3a Ed. São Paulo: editora Harbra 1986 4. Bernard Kolman David R. Hill. Introdução à algebra linear única incógnita, cujo expoente é sempre 1.

Solução de uma equação linear: Um determinado conjunto será a solução da equação linear se todos os elementos desse conjunto forem iguais às incógnitas da equação e ao substltuirmos os elementos desse conjunto nas incógnitas da equação linear a igualdade al 1 xl + al 2×2+ al 3×3 + + al nxn = b deve ser erdadeira. Exemplo: Dado o conjunto solução (O, 1, 2) e a equação linear -2x + y + 5z = 1 1, para verificar se é verdadeira essa solução devem-se substituir os valores x=O, e na equação dada teremos: -2. 0+1+5. 2=11 10-11 11=11.

Como a igualdade é verdadeira, podemos concluir que o conjunto solução (0, 1, 10) é solução da equação -2x + y + 5z = 11 Sistema de Equações Lineares Definição de Sistema linear: Denomina-se sistema linear de m equações nas n incógnitas todo sistema da forma: são números reais. Se o conjunto ordenado de números reais satisfizer a todas s equações do sistema, será denominado solução do sistema linear. Observações: 1 a) Se o termo independente de todas as equações do sistema for nulo, isto é, , o sistema linear será dito homogêneo.

Veja o exemplo: Uma solução evidente do sistema linear homogêneo é x – y = z — O. Esta solução chama-se sol sistema homogêneo. Se seguintes condições de solução: uma unica solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Sistema possível e Determinado (SPD): ao ser resolvido encontraremos uma única solução, isto é, apenas um único valor para as incógnitas. O sistema a seguir é considerado um sistema possível e determinado, pois a única solução existente para ele é o par ordenado (4,1).

Sistema possível e Indeterminado (SPI): esse tipo de sistema possui infinitas soluções, os valores de x e y assumem inúmeros valores. Observe o sistema a seguir, x e y podem assumir mais de um valor, (0,4), (1,3), (2,2), (3,1) e etc. x+y=4 ox -oy-o Sistema Impossível (SI): ao ser resolvido, não encontraremos soluções possíveis para as incógnitas, por isso esse tipo de sistema é classificado como impossível. O sistema a seguir é impossível. Determinado Possível

Sistema Indeterminado AIGF3rl(Fq 2x+2y- loz Matriz dos Coeficientes -8 2 4 -IO -10 Matriz Ampliada -4 ETAPA 5: Aula Tema: Equações Lineares: Regra de Cramer Determinante Geral: x- – 80 o D- -800 +16+ 16+40+32+ 160 D- -800 + 264 D: -536 X- -1000 – 32 +0 +0 +40 X- DX– 1112 + 40 -1072 X-DXDG – -1072-536 2 Y=DYDG -536-536 – 1 Z=DZDG = -536-536 – 1 ETAPA 6: Aula Tema: Sistema de Equações Lineares: Gauss-Jordan Sistemas Equivalentes Definição: Dizemos que dois sistemas de equações lineares são equivalentes quando têm as mesmas soluções, ou seja, toda solução do primeiro é também a solução do segundo e , eciprocamente, cada solução do segundo é também solução do primeiro.

Convém destacar que dois sistemas de equações equivalentes não têm que ter o mesmo número de equações porém, é necessário que tenham o mesmo número de incógnitas. Critério 1: Se multiplicarmos os membros de uma equação de um sistema por um número real distinto de zero, obtém-se outro sistema equivalente ao inicial. Exemplo: Os seguintes sistemas são equivalentes, uma vez que para passar do primeiro ao segundo, multiplicamos a primeira equação por 3, a segunda equação por 2 e a terceira por -1 . X-4Y+2z=3 6x-8Y+4z=6 x—2y — 3z = -2 Critério 2: Se a uma equação de um sistema somarmos ou subtrairmos outra equação do mesmo sistema, obtemos outro para passar do primeiro ao segundo, a segunda equação foi subtraída da primeira. x-7Y+4z=-1 3: (fusão dos critérios anteriores): Se a uma equação de um sistema somarmos ou subtrairmos outra equação do mesmo, multiplicada por um número real diferente de zero, obtêm-se outro sistema equivalente. Exemplo: Os seguintes sistemas são equivalentes, uma vez que para passar do primeiro ao segundo, a segunda equação ubtraímos a primeira multiplicada por 3 e a terceira equação subtraímos a primeira multiplicada por 2. x-Y+2z=-2 3x-4y+ 2z—3 2x+2Y+3z=2 4y-z=6 Critério 4: Se em um sistema de equações lineares uma equação é proporcional a outra ou é combinação linear de outras, podemos retirá-la e o sistema que obtemos é equivalente ao inicial.

Portanto, antes de discutir ou resolver um sistema de equações lineares, é conveniente retirar as equações supérfluas que podemos identificar facilmente, como, por exemplo: * As equações proporcionais * As equações nulas * As equações que sejam combinação linear de outras. Exemplo. Os seguintes sistemas são equivalentes pois retiramos a terceira equação, que é proporcional a primeira (a terceira equação é igual a primeira equação multiplicada por 3). 2x+Y- –2 2x-4y+ 2z—3 4x+ 2y – 3z—2 2x•y-3z = -2 4x+2Y- = -6 Exemplo: Os seguintes sistemas são equivalentes pois retiramos a segunda equação, já que todos os seus coeficientes e o termo independente da mesma é nulo. 2x+Y-3z–2 PAGFsrl(Fq 2x+Y- 3z=-2 Ox+OY+ = O x +3y- 97 = -5 2x+Y-3z=-2 x +3y-9z = -6 4x 2y – 37-2 a quarta equação, que é a soma da primeira e segunda equaçoes. + 3y – 8z -2 x + 2y — Sz —O Devemos observar que se em um sistema de equações lineares trocarmos a ordem das equações ou das incógnitas, o sistema obtido é igual ao anterior. somente permutamos a primeira equação pela terceira. 3x-Y+5z=-2 x +2Y+3z x+2Y+3z=2 3x-Y+ = -2 Exemplo: Estes sistemas também são equivalentes, pois houve permutação, em todas equações, da ordem das incógnitas x e Y. 2X-4Y+2z=3 4x+ 2y – 3z — 2 Y+ 3x – 37 -2 + 2X + 22 = 3 2y +4x – 37-2 A aplicação destes critérios de equivalência de sistemas de equações lineares, facilitará a obtenção de outro sistema quivalente ao inicial que seja mais fácil de resolver. Solução do Sistema Linear por Gauss Jordan PAGFarl(Fq fácil de resolver. 19 -13 -2 -5 9 -67 -11 L2- L2-2L1 L3-L3+4L1 -7 L3+6L2 11 8 L2-L2-8L3 0 -13 L2-L2+L3 Ll=L1-L2 67 Ll=L1+13L3 6 O -19 -3 s: (2,1, 1) Conclusão: As leis de Kirchhoff são assim chamadas em homenagem ao físico alemão Gustav Robert Kirc 887) e são baseadas no PAGF8ÜFq regras às quais devem respeitar as associações de componentes. A aplicação conjunta das Leis de Kirchhoff e de Ohm permite obter um conjunto de equações cuja resolução conduz os valores das correntes e das tensões aos terminais dos componentes. Lei das Malhas (tensões): A Lei das Malhas determina que, em qualquer instante, é nula a soma algébrica das tensões ao longo de qualquer malha. O somatório das tensões ao longo da malha ser nulo, equivale a dizer que é nulo o trabalho necessário para deslocar uma carga ao longo da malha fechada. Isto acontece porque o sistema é conservativo.

Figura 1 – Esquema representativo da Lei das Malhas De acordo com o sentido de referência das tensões representadas na figura anterior e circulando no sentido dos onteiros do relógio, a lei das malhas permite obter a equação: 10-411 +412-211 +213-211 -811 +213 + 412= -10 (12-13) 412-411 – 312 – 12 – 212 213 = o -1012 -411 213 3)4v- 13 13 (13 – 12) *2-0 -313 – 313 -213 + 211 – 213 + 212=-4 -1013 +211 + 212 –4 Note-se que se considerou o simétrico das tensões II, 12 e 13 uma vez que o seu sentido de referência representado é o oposto ao de circulação. Não é determinante escolher o sentido horário ou o anti-horário, pois as equações obtidas de uma ou outra forma são exatamente equivalentes. Então tomando os valores de 1 1, temos -8x+4y+ 1 AIGFgrl(Fq