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ETAPA I Matrizes Definição : Uma matriz m x n é uma lista de números aij , com índices duplos, onde IC I ( me l(j( n. A matriz A é representada por um quadro com m linhas e n colunas, no qual o elemento ai j situa-se no cruzamento da i-ésima linha com a j-ésima coluna. [pic] também pode ser representada por parênteses ou barras verticais duplas, no lugar dos colchetes. Uma outra forma de representação, que será usada em algumas partes deste texto, é ,a12,… al a vantagem desta for texto corrente. Na si chaves no lugar de c p aml, am2, … ,amn]], e Inserçao num ematica se usa Assim a i-ésima linha da matriz A é: ail , ai2 , ain], para i = 1, 2 m E a j-ésima coluna da matriz A é: [[alj], [a2j], para j = 1 2 A matriz A também pode ser compactamente representada por: A = (aij)mxn , neste caso seus elementos não aparecem explicitamente. O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas como Economia, Engenharia, Matemática, Física, dentre outras.

Vejamos um exemplo. [PiC] Assim, para uma matriz identidade [pic]. • Matriz transposta: matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo: Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, Até do tipo n x m. Note que a 1a linha de A corresponde à 1 a coluna de Ate a 2a linha de A corresponde à 2a coluna de At. ?? Matriz simétrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = At por exemplo, [pic]é simétrica, pois al 2 a21 = 5, a13 = a31 6, a23 a32 = 4, ou seja, temos sempre aij=aij. • Matriz oposta: matriz -A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos de A. Por exemplo, [pic]. Igualdade de matrizes Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posição são iguais: [pic] [pic].

Operações envolvendo matrizes Adição Dadas as matrizes [pic], chamamos de soma dessas matrizes a matriz [pic], tal que Cij = aij + bij , para todo [pic]: IA+B=C Exemplos: • [PiC] Dadas as matrizes [pic], chamamos de diferença entre essas matrizes a soma de A com a matriz oposta de B: Observe: [picl Multiplicação de um número real por uma matriz Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz g do tipo m x n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, bij = xaij: Observe o seguinte exemplo: Propriedades Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y números eais quaisquer, valem as seguintes propriedades: a) associativa: x . yA) = (xy) A b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: x . (A + B) = XA + XB c) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais: (x + y) A = xA+yA d) elemento neutro : A, para , ou seja, AZA Multiplicação de matrizes O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos sus respectivos elementos. Assim, o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n é a matriz C = (ci]) m x n em que cada elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i- ?sima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B. Vamos multiplicar a matriz ic ara entender como se obtém cada cii: 3 propriedade comutativa.

Vejamos outro exemplo com as matrizes [pic]: Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o numero de colunas de A for igual ao número de linhas de B: A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n): • Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então não existe o produto • se A4X2eB2X1, Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes, valem as seguintes propriedades: a) associativa: (A. B) C = A. B. C) b) distributiva em relação à adição: A . ( B + C) A. B + A. C ou ( A c) elemento neutro: A . In – In . A = A, sendo In a matriz Identidade de ordem n Vimos que a propriedade comutativa, geralmente, não vale para a multiplicação de matrizes.

Não vale também o anulamento do produto, ou seja: sendo O m x n uma matriz nula, A -B m x n não implica, necessariamente, que A O m x n ou B = O m x n. Matriz inversa Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A’, de mesma ordem, tal que A. A’ = A’ . A = In , então A’ é matriz inversa de A . representamos a matriz inversa por A-1 (volume e II) , LTC EDITORA 1998. 5. BRAGA, Marcio Bobik; KANNEBLY JUNIOR, Sergio; ORELLANO, Verônica I. F Matemática para economistas. São Paulo: Atlas, 2003. ETAPA II Determinante É uma função que associa um escalar a uma matriz quadrada. É um importante conceito matemático, usado, por exemplo, na solução de sistemas de equações lineares.

Símbolos e determinantes de segunda ordem Na forma compacta, o determinante de uma matriz quadrada A é simbolizado por det(A) O determinante também pode ser representado pelos elementos da matriz, com a substituição dos colchetes por barras verticais. Seja, por exemplo, uma matriz 2×2, S dos determinantes I 1 # Mantidas as ordens dos elementos, um determinante não se altera se [pic] linhas e colunas são trocadas. #B. I # I Se duas linhas ou duas colunas são trocadas entre si, o determinante muda de sinal. #C. I # Se os elementos de duas linhas ou colunas são iguais I [PiC] entre si, proporcionais entre si ou uma linha ou coluna é nula, o I determinante é nulo (k é um número qualquer). I Ise os elementos de uma mesma linha ou coluna têm um fator de multiplicação comum, ele pode ser colocado em evidência.

I I Um determinante não se altera se, aos elementos de ma linha ou [picl I coluna, são somados ou subtraídos os elementos (ou múltiplos deles) de outra linha ou coluna. I 1 # Idet(A B) det(A) det(B) Idet(A B) = det(A) det(B) Idet(kln) = kn. Portanto, det(kA) = kn det(A), onde A é uma matriz nxn Idet(A-1) = [ det(A) 1-1 det(AT) = det(A) Determinantes e equações lineares Determinantes podem ser usados para resolver sistemas de equações lineares. Seja, como exemplo, um sistema de 3 equações e 3 incógnitas: Em termos de matrizes, ele pode ser escrito como A X forma expandida: A: matriz dos coeficientes. X: matriz das incógnitas. B: matriz dos termos inde B. Ou na