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71 CAPITULO 3 COMPONENTES SIMÉTRICOS 3. 1 – Análise por componentes simétricos Em 1918, o Dr. Fortescue apresentou à “American Institute of Electrical Engineers” o trabalho denominado “Método de Componentes Simétricos aplicado à solução de Circuitos Polifásicos”. Este método desde então vem sendo largamente usado na análise de funcionamento de circuitos elétricos desbalanceados. Embora o método seja aplicável a qualquer sistema polifásico desequilibrado, este curso tratará especificamente de sistemas trifásicos.

De acordo com o então denominado desequilibrados, de u 0 sistemas equilibrado e . S. wp view next page são: 1. Componentes fasores iguais em mó ês fasores, ubstituídos por três untos equilibrados onsiste de 3 , e tendo a mesma sequência que os fasores originais. 2. Componentes de sequência negativa, consistindo de 3 fasores iguais em módulo, defasados de 1200, e tendo a sequência da fase oposta a dos fasores originais. 3. Componentes de sequência zero, constituído de 3 fasores iguais em módulo com defasagem de 00 entre si.

Assim, se um sistema tem a sequência de fases abc, as sequências de Swige to next page de fases dos componentes de sequência positiva e negativas, erão respectivamente abc e acb. Exemplo: sejam 3 fasores originais de tensão, Va, Vb e Vc , que serão decompostos nos três conjuntos abaixo: 72 vcl val Vb2 Vbl Va2 VaO Vb0 VcO VC2 Figura 3. 1 A soma gráfica dos 3 sistemas dará: va vc VCO V V ao V a2 V al REFERÊNCIA Figura 3. 2 – Vbl Da fig. 3. 2 tira-se que: Vaz Val + Va2 + Vao Vb vc- vcl vc2 + VCO (3. 3) = Vbl + Vb2 + Vbo 3. – Operadores 20 jO,866 Aplicando-o duas vezes haverá uma rotação de 2400, três vezes 3600. Algumas das muitas combinações do operador a são mostradas a seguir: a = 1 11200 = -0,5 + j0,866 a2 1 12400 -0,5 -jO,866 a3 = 1 13600 = 1 +jo 1 11200 = -0,5 + jO,866 = a I + a = 1 1600 = + jO,866 = -a2 1 -a = 31-300 = 1,5 – 1 + az = 1 /-600 – jo,866 -aa + a2 1/1800 = -1 -jo a – a2 = 3 1900 ji,732 1 +a+a2 +j2 2/1350 2/-2250 –1 + 21-2700 = o + j2 A fig. 3. 3 mostra diversos fasores operados por a: 3-1, -a 60 0 600 -a2 600 1, a3 -a Figura 3. IMPORTANTE: Enquanto que +j 1/1 200 -a 1 11 200 . 1 11800 = 1 13000 = 1 ‘-600 significa rotaçao de +900 e -j rotaçao de -900, para o operador a não se pode fazer afirmação análoga: 73 74 3. 3 – Componentes simétricos de fasores assimétricos Retomando as equações (3. ), (3. 2) e (3. 3): va = vai va2 + vao Vbl + Vb2 + Vb0 vc- VCI + vc2 + VCO (3. 1) (3. 2) (3. 3) Usando o operador a e os conceitos tirados das figuras anteriores: (3. 4) Substituindo o conjunto de equações (3. 4) em (3. 2) e (3. ), tem-se que o sistema de tensões Var Vb e Vc poderá ser assim reescrito: Va = Val + Va2 + VaO Vb = a2Va1 + aVa2 + VaO Vc aval + a2Va2 + Va0 Matricialmente: (3. 5) (3. 6) (3. 7) Va Vb Vc 111 a21a 11VaOa. Va1 a2Va2 (3. 8) Por conveniência, será adotado que . 112A=1a1a 1 a a2 (3. 9) Assim, a equação (3. 8) poderá ser assim ser escrita: [Vp] Wc] A matriz inversa de A será: 75 1 IA-1 a2VaVbVcVaOVa1 Va2 1 a2avao. A. val va2 4 20 Observações importantes: 1. A equação (3. 12) mostra que, em circuitos trifásicos equilibrados, não há componente de sequência zero. 2. As equações (3. 2), (3. 13) e (3. 14) valem também para corrente e podem ser resolvidas gráfica ou analiticamente. Quando representam correntes tem-se: lao = 1/3 (la + Ib + Ic) lal = 1/3 (la + alb + a ic) la2 1/3 (la + a Ib + alc) 22 (3. 15) (3. 16) (3. 17) 76 3. Em um sistema trifásico com condutor neutro, I n — c . Assim, de (3. 15): lao = 1/3 In n = 31 ao (3. 18) 4- Quando não há retorno, In é nulo . Nestas condições, as correntes de sequência zero não existirão. Assim sendo, em uma carga ligada em 0, nao há corrente de sequência zero. Exemplo 1: Um condutor de uma linha trifásica está aberto.

A corrente que flui para uma carga ligada em pela linha a é de IDA. Tomando a corrente na linha a como referência e a linha c aberta, determine os componentes simétricos das correntes de linha. a- 10/00 (A 10/1800 (A)elCO soluçao: Das equaçoes (3. 15), (3. 16) e (3. 17): Ia Ia2 = 1/300/00 + 10/1800 x 1/2400 + 0) = 5,78/300 A Das equações (3. 4): Ibl = a21a1 = 5,78/-1500 (A) 152 = ala2 = 5,78/1500 A) IbO Iao = O Ici alai 5,78/900 (A) Ic2 a21a2 = 5,78/900 (A) ICO = lao = O 77 Comentários: • Embora Ic = O , os componentes ICI e Ic2 têm valores definidos, mas ICI + Ic2 = O. ?? A soma das componentes de A deve dar 10/00 [A] e de B, 10/1800 [A]. 3. 4 – Potência em termos de componentes simétricos: Conhecendo-se os componentes simétricos de corrente e tensão, pode-se obter, a partir destes, a potência consumida: N = P + jQ = Va . Ia* Vblb + Vclc* Matricialmente: (3. 19) va = Vb vc Ia xlb Ic 2 b Ic (3. 20) ou seja, S -VL L 6 OF20 que: At =A Sabe-se ainda que a e a2 são conjugados. Portanto: 111a a 11 Iao I al la2 Vai va2] 1 a21a (3. 22) [vao van vaz ao lal la2 (3. 23) A equação (3. 3) ficará: Vala + Vblb + Vclc 3Va21a2 Ou seja: Ia [Va Vb Vc] b Ic Exemplo 2: ao Va2]Ia1 = + 3va1 lal + 100 / 30 0 220 / o o = 100/-60 0 3. 5 – Componentes simétricos das impedâncias: 3. 5. 1 – Caso Geral Para a figura (3. 5), as relações para as correntes e tensões serão: Vaab c Z aa Vb Z bb Vc M ab = M ba M ca – M ac Z cc Mbc= M cb Figura 3. 5 Va = Zaaia + Mablb + Maclc Vb = Mbaia + Zbblb + Mbclc Vc Mcala + Mcblb Zcclc 79 80 Matricialmente: Va Z aa Vb = M ab Vc M ca cv’p] M ab Z bb M cb M ac M bcZ cc Ia Ib Ic (3. 24) Em termos de componentes simétricos pode também ser escrito: wc] = [zcc] . IC] Já foi Visto fases equilibradas: Zaa = Zbb = Zcc = Z Mab – Mba = Mcb = Mbc Mac = Mca = M Substituindo na equação (3. 30): 81 1 [Zcc] -1/3 1 resolvendo esta: ZMMMZMMMZOO (Z+2 M) O M) 00 (3. 31) (Z-M) Como se vê, a matriz de impedância se diagonalizou. Caso o circuito não fôsse equilibrado, a matriz acima sena totalmente cheia. A equação (3. 31 ) pode ainda ser assim escrita: zo = o o OZI O ozo=Z+2MO-Z1 -Z apenas de sequência positiva.. Consequentemente, no caso de uma carga equilibrada, teremos somente corrente de sequência ositiva. 3. – Impedâncias de sequência dos componentes do sistema: 82 3. 6. 1 – Linhas e cabos ZO=Z 2M A solução do sistema Zl = Z M , mostra que para as linhas transpostas, “ZO” é Z2 = Z — M maior que ‘Zl” ou ‘Z2″ e qu”Z1″é igual a “Z2”. Normalmente a impedância de sequência zero é da ordem de 2,0 a 3,5 vezes o valor da impedância de sequência positiva ou negativa (em linhas aéreas ou cabos de 3 condutores). Isso ocorre porque as correntes de sequência zero estão em fase nos três condutores. A soma das correntes de sequência zero das 3 fases sempre dará um resultado diferente de zero.

Isso implica que, para elas existirem, deverá haver um caminho de retorno (neutro). A impedância deste retorno é “Zn”. O circuito de sequência zero unifilar, pelo qual normalmente passará apenas “lo” deverá, neste caso, ter uma impedância de retorno 3Zn. Assim, se mostra o efeito de uma corrente lo em uma impedância 3Zn: 3Zn10. lo lo lo 3 1 Retorno ) Figura 3. 6 A esta impedância deverá ser acrescida a impedância própria dos condutores. Se o retorno é feito pela terra, será dificil obter um valor preciso para a impedância total dos condutores, pois o sol 0 DF 20