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Noções de Cálculo Vetorial Prof. Alberto Ricardo Prass Linguagem e conceitos Linguagem é um ingrediente essencial do pensamento abstrato. É difícil pensar clara e facilmente sobre conceitos sofisticados e abstratos, numa linguagem que não tem palavras apropriadas a tais conceitos. Para exprimir novos conceitos científicos novas palavras são inventadas e adicionadas às línguas. um vetor é uma quantidade que tem direção e sentido além de magnitude. Notação Vetorial Uma vez que símbolos são os componentes da linguagem matemática, uma parte importante da arte da análise matemática é a técnica e usar uma boa notação.

A notação vetorial tem duas grandes propriedades: 1. A formulação de uma lei física em termos de vetores é independe notação vetorial ofer um conteúdo físico i 2. A notação vetorial simples e transparen OFII p de coordenadas. A ual enunciados têm de coordenadas. icas têm formas entes quando estas leis são escritas em termos de um sistema particular de coordenadas. Algumas das leis mais complicadas, que não podem ser expressas em forma vetorial, podem ser expressas e Sv. ‘ipe to View next page em termos de tensores. Um tensor é uma generalização de m vetor e inclui um vetor como um caso especial.

A análise vetorial que conhecemos hoje é em grande parte o resultado do trabalho feito no fim do século XIX por Josiah Willard Gibbs e Oliver Heaviside. r A notação vetorial que adotamos é a seguinte: A. A utilidade e aplicabilidade de vetores em problemas físicos é baseada, em parte, na geometria Euclidiana. O enunciado de uma lei em termos de vetores usualmente acarreta a hipótese de que a geometria de Euclides é válida. Se a geometria não for Euclidiana, a adição de dois vetores de uma forma simples e inequívoca pode não ser possível.

Para o espaço curvo existe uma linguagem mais g eral, a geometria diferencial métrica, que é a linguagem da Teoria da Relatividade Geral, domínio da Fisica no qual a geometria Euclidiana não é mais válida. Consideramos um vetor como sendo uma grandeza tendo direção, sentido e intensidade. Esta propriedade não tem nenhuma relação com um sistema particular de referêncial . Um escalar é definido como sendo uma quantidade cujo valor não depende do sistema de coordenadas. O módulo de um vetor é um escalar.

As principais grandezas físicas e a sua classificação como escalar ou vetorial são: Grandezas Escalares Grandeza Símbolo Comprimento Área classificação como escalar ou vetorial são: Volume Massa Pressão Densidade Tempo Temperatura Energia Potência Corrente Elétrica Potencial Elétrico Resistência Elétrica Resistividade Elétrica unidade m rn3 kg pa kg,’ff13 s KJ W A V n. m AVmpdtTEPiVRp Grandezas Vetoriais Grandeza Símb Unidade Olo r Posição m x r Deslocamento m Ax r Velocidade m/s v r Aceleração m/s2 a r Força N F Momentum Impulso Campo Elétrico Campo Magnético rQrIrEr3 N. g/s V/m T gualdade de vetores r r Dois vetores A e B são definidos como endo Iguais se tiverem o mesmo módulo, direção e sentido. um vetor não tem, necessariamente, uma localização, apesar de que um vetor possa se referir a uma quantidade definida em um ponto. Dois vetores podem ser comparados, mesmo que meçam quantidades físicas definidas, em diferentes pontos do espaço e de tempo. Operações com Vetores Vamos estudar agora a maneira de operar com as grandezas físicas vetoriais (ou com vetores).

Já estamos bastante familiarizados em somar ou subtrair grandezas escalares de uma mesma espécie: a) assim, a adição de um comprimento de 20 m de tecido com 40 m de outro os fornece cerca de 20 m + 40 m = 60 m; b) b) um volume de 5 litros somado com um 40 m de outro nos fornece cerca de 20 m +40 m = 60 m; b) b) um volume de 5 litros somado com um outro de 10 litros nos fornece um volume resultante de 15 litros; c) se subtrairmos 4 horas, de um intervalo de tempo de 15 horas, obteremos 15 h -4h – 11 h; d) já a operação 10 litros + 2 horas não é posslVel ser efetuada visto tratar-se de grandezas de espécies diferentes.

E com os vetores, de que forma podemos operar? Existem métodos gráficos e analíticos. Veremos os métodos gráficos. Adição de Vetores2 r r r O vetor resultante ou soma R = A + B é obtido da seguinte maneira: a) escolhe-se um ponto qualquer (ponto P). b) desloca-se em qualquer ordem todos os vetores que se deseja somar de modo que a origem do primeiro fique sobre o ponto P e os demais fiquem dispostos de tal forma que a origem de um coincida com o vértice de outro. c) o vetor que vai da origem do primeiro (ponto P) à extremidade do último r r r (ponto Q) é, por definição, o vetor resultante R = A + B . 0 Caso: dois vetores de mesma direção e sentido. r A = 4u r B 3u 20 Caso: dois vetores de mesma direção e sentidos opostos. A = rR=1u rA-4urB=3u 30 Caso: dois vetores de dire ões er endiculares. 40F = 4urB=3u 30 Caso: dois vetores de direções perpendiculares. Para achar o módulo do vetor resultante R , usa-se o Teorema de Pitágoras: Q r2 r2 r r r2 32 r r 16+9 rrR= 25 r r Também estana correto se ao invés de começar com A começássemos com B • Podemos usar a “Regra do Paralelogramo”. Escolhe-se um ponto qualquer (ponto P). *Coloca-se a origem dos dois vetores nesse ponto. *Completa-se o paralelogramo usando linhas imaginárias. *O vetor resultante tem origem no ponto p e tem a mesma ireção da diagonal que parte de P. r A = 4urR= 5u 300 r B Poderíamos usar a “Regra do Paralelogramo”. r A rRra 50 Caso: vários vetores com direções quaisquer. r A rArR 370 rBrc Subtração de Vetores r r Seja o vetor Achamamos de vetor oposto – A a um vetor de mesmo módulo, direção e sentido oposto. A r -A Exemplo: r r r r r Dados os vetores A e B, o vetorr diferença rD = Ar B é obtido fazendo-se a —r r r r r adição de A com—g,ou seja: D = A —B — D = A + B) r Ar B r —B r A Produto de um número real or um vetor r O produto de um vetor A por um r direção q smo sentido de r ao de feito por uma força (F) ao r longo de um deslocamento (Ox) : r rrrt=F• = F . Ax. cos e r Outro exemplo é o cálculo da potência (P) de uma força F quando a velocidade é r (v) : rrrrp = F • v = F. v. os B Produto vetorial de dois vetores Definição: r r r o “produto vetorial” A x B é definido como sendo um vetor (C) perpendicular ao r r plano que inclui A e B e que tem módulo : r r r r r r C = A x B C = A. B. sen r O sentido de C é determinado por uma convenção que é a regra do saca-rolhas (também pode- se usar a regra da mão esquerda ou a regra do tapa). REGRA DO TAPA REGRA DA MÃO ESQUERDA r O exemplo mais importante é o da determinação da força (F) que atua sobre uma r carga elétrica (q) que se move com uma velocidade (v) em um campo magnético r (B): r r r r r r F = qv x B —F=q. v.

B. senB Decomposição de Vetores r Seja um vetor F inclinado de a em relação ao eixo Ox e inclinado de p em relação ao eixo Oy. r Fx componente de r Fy componente de r F segundo Ox r F segundo Oy Da figura temos: r Fy sen a = r Fr Fx sen p = r Fr Fx cos a = r Fr Fy cos r F . cosP-rF. senPrF. sena OBSERVAÇÕES: Admitimos que a direção de um vetor pode er definida. Para algumas finalidades podemos referir a sua direção ao laboratório e para outras às estrelas fixas ou à Terra. Nem todas as quantidades que tem intensidade e direção são necessariamente vetoriais (por exemplo, corrente elétrica).

Os valores usados como módulo são apenas para exemplificar. A unidade “u” é arbitrária. Admitimos que a direção de um vetor pode ser definida. para algumas finalidades podemos referir a sua direção ao laboratório e para outras às estrelas fixas ou ? Terra. Nem todas as quantidades que tem intensidade e direção ão necessariamente vetoriais (por exemplo, corrente elétrica). EXERCÍCIOS PROPOSTOS r F2 = 30 N atuam num corpo conforme a figura. r Determinar a força resultante R (módulo, direção e sentido). 1 .

Duas forças e r Fl = 40 N r r 2. Duas forças Fl 40 N e F2 = 30 N atuam num corpo conforme a figura. Determinar a força única que produz o mesmo efeito que as duas juntas. 600 3. Num ponto atuam 3 forças conforme o esquema anexo. Determine a resultante. r r r Fl = 40 N , F2 = 30 N , F3 = 30 N r 4. Um barco sob a ação do motor fica sujeito a uma velocidade l ; a correnteza r puxa o barco com velocidade v 2 = 3,0 m / s rio abaixo. O barco deve cruzar o rio de r modo que fique sujeito a uma velocidade v 4, 0m / s , perpendicular a correnteza. Veja a figura e determine o módulo de vl . 5. Na figura temos um avião voando a 600 km/h. num determinado instante passa a soprar um vento com velocidade de 100 km/h, conforme indica a figura. Determinar a velocidade resultante do avião. 6. Na figura anexa a velocidade do barco é vB=8 m/s dirigida perpendicularmente à correnteza que tem velocidade vc =6 m/ s. Determine a velocidade resultante no barco e o ângulo que sta resultante faz com a correnteza. (Este ângulo é a direção do deslocamento do barco. ) 7.

O diagrama vetorial mostra, em escala, duas forças atuando num objeto de massa m O módulo da resultante dessas forças que estão atuando no objeto é, em newtons: (A) (B) 10 (C) (D) (E) r r r r 8. Considere os vetores deslocamentos a , b , c e d desenhados a seguir: r r r r Os vetores a , b, c e d satisfazem a relação: cr=drr (B) b-c=drrr b c = d r r r (E) a + c = b 9. Um jogador de futebol encontra-se no ponto P, a c r r r (D) b+c-drr r (E) a + c = b 9. Um jogador de futebol ncontra-se no ponto p, a 50m de distância do centro do gol e a 30m da linha de fundo.

Em um dado momento, o jogador avança com uma velocidade de módulo v = 5,0m/s , em direção ao gol. Nesse Instante, a velocidade com que ele se aproxima da linha de fundo tem módulo igual a: (A) 5,0 (B) 2,5 (C) 50 rn,’s (D) (E) 30 rn,’s 10. DOiS alunos estão no Shopping Center Bongo. Os alunos A e B estão subindo e descendo, respectivamente, duas escadas rolantes. Cada escada tem velocidade constante de módulo 1,0 m/s e estão inclinadas de 450 em relação à horizontal, conforme indica a figura. 11. A figura representa um carro que percorre a trajetória ABC em 50 s. abendo-se que AB = 200 m e = 150 m, pede-se: a) representar os vetores deslocamentos correspondentes aos trechos AB e BC e o deslocamento resultante. b) determine o valor do deslocamento resultante do percurso. c) determine a velocidade escalar média. d) determine o módulo da velocidade vetorial média. 12. Num ponto atuam as forças Fl = 25 N; 15 N, conforme ilustra o esquema. Determine a resultante delas. 13. Num corpo atuam duas forças conforme o esquema. Determinar a resultante (módulo, direção e sentido) destas forças 0 DF 11