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SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS POR DIFERENÇAS FINITAS-JM Balthazar- Maio 2003 Resolvendo um probl para introduzir o mét to view s de uma forma prática, vamos considerar um problema de condução estacionária de calor em uma barra delgada – Figura 1. Suas extremidades são mantidas temperaturas finitas, elementos finitos, elementos de contorno e muitos outros. Os resultados precisam ser visualizados gráficamente. para obtermos a solução por diferenças finitas vamos inicialmente realizar uma partição regular na região em que estamos estudando a condução de calor – Figura 2.

Desta forma rabalharemos com um intervalo Figura 2 formado por um conjunto discreto de pontos ou nós xi e não com um intervalo contínuo. A cada nó xi podemos associar os valores Ti = T(xi) da função T(x), que representa a distribuição da temperatura ao longo da barra. Se os parâmetros do problema variarem ao longo da barra, da mesma forma apoderemos associar os valores nodais Ai = A(xi), Ki = «xi), Pi = P(xi) e hi = h(xi).

O próximo passo consiste em reescrever todas as equações do problema em termos dos parâmetros nodais. Este procedimento consiste em linhas gerais no que se denomina discretização do roblema e pode ser feito de diversas maneiras. Uma das maneiras de se realizar a discretização, no caso de problemas de 2a ordem, correspondente ao método das diferenças finitas, consiste em tomar três pontos consecutlvos da função incógnita, neste caso da temperatura T(x) – Figura 3.

Figura 3 Passemos por 2 eles parábola Para determinar seus coeficientes devemos impor que P(x) interpole os pont PAGF70F11 interpole os pontos escolhidos, ou seja P(Xi-1 -xi) = a • (x -xi)+b P(x i +1 i +1 —xi)+b (xi 1 —xi) + c -Ti +1 Considerando porém a malha regular, simplificação conveniente as não obrigatória, as equações podem se reescritas = Ti +1 A solução deste sistema de equações fornece os seguintes valores para os coeficientes da parábola: Ti-l -Ti-l c-Ti A essência do método das diferenças finitas consiste em aproximar as derivadas de T(x) pelas denvadas de P(x), o que será tanto melhor quanto menor for o incremento A.

Assim sendo: dTz P'(O) dx i PAGF30F11 transformam o problema do cálculo no domínio contínuo para um dominio discretizado. Tais operadores para o presente caso sao: Ti+l -Ti-l d2TTi-1 -2, z 2 dx A2 Voltemos à equação diferencial que agora desejamos satisfazer e forma aproximada somente nos nós d2TAiKi•2-Pi i = 1,2,…. Substituindo os operadores deduzidos acima, obtemos a equação em diferenças correspondente à equação diferencial do problema Reagrupando convenientemente os termos, para cada valor de i temos a seguinte equação Como Ai, Ki, Pi, hi, 0 e TCO são parâmetros conhecidos, a expressão acima representa um conjunto de equações.

Portanto izo ao•T-1 – po h0Tm a • 0-31 •TI +a•T2 termos representam valores de T(x) em pontos situados fora do intervalo considerado. Temos portanto n+l equações (i = n+3 incógnitas (T-1, TO, Tn+l As equações que faltam para completar o sistema são justamente as condições de contorno que, expressas em função das temperaturas nodais, são TO – TA e Tn = TB. Assim o sistema de equações completo, escrito matricialmente, tem forma abaixo: acto co DM ao ao O L OOLO 000 al -91 al MO 10000000 oa2-#2u2 0 O an-sno OOLOOI O OO”T-IÜ o-Ph0T o-PhTC] Cl M -In n- PhnTC] Este pode ser resolvido numericamente uma vez que tanto a matriz dos coeficientes como c vetor de termos independentes são conhecidos.

Neste ponto é conveniente fazer algumas observações. A rimeira delas refere-se à formulação intrínseca desta primeira abordagem. O aluno deve lembrar ue havíamos tomado três i) para interpolar a pontos consecutivos e ce PAGF SOFII obteríamos operadores de formulações esquerda e direita respectivamente. A segunda observação refere-se à ordem do polinômio interpolador. Escolhemos uma parábola porque necessitávamos de derivadas de Segunda ordem no máximo. Poderíamos Ter tomado cinco pontos centrados em (xi, i) por exemplo, os quais gerariam um polinômio interpolador de grau 4 produzindo melhores aproximações para derivadas de 1 a e 2a rdem bem como de 3a e 4a ordem.

Por fim, obtidos os valores de Ti, após a solução do sistema de equações, podemos calcular as derivadas de T(x) nos nós (fluxos de calor nesse caso) usando novamente os operadores em diferenças já conhecidos. por exemplo para calcular o fluxo em x = I fazemos -Tn-l )dx12A 2. Exemplo Prático de aplicação Um soldador elétrico — Figura 4 – possui uma resistência de 25W para aquecer a haste de cobre de tal forma que a temperatura na ponta seja suficiente para fundir o estanho (Tfusão = 2400C). O calor é conduzido de uma extremidade à outra e parte é issipado convectivamente para o ambiente a Toa = 25cc e segundo coeficiente de convecção de h 150 W/m2/0C. A condutividade térmica do cobre pode ser fixada em K = 380 W/ m2/0C.

A equação diferencial que rege o problema é a mesma considerada no exemplo anterior d 2T 2- Ph • (T (x) – O dx p/ cm po no exemplo anterior d 2T AK • 2 — Ph • (T (x) — —O dx p/ Osxs2,5 cm porém, as condições de contorno são diferentes: q(O) = 25/(Flr2) = 127,324 dT dx Figura 4 Dividindo a haste em cinco partes (A = 0,5 cm) após aplicarmos os operadores, a equação em diferenças e as ondições de contorno resultam 2,985 Ti-l – 5,993 Ti + 2,985 Ti*l = 0,589 T-l -TI = 33,506 oc 3,8 T6 + 0,015 T 5 – T4- 0,375 Desta forma podemos montar o sistema de equações 2,98 Cl 0 -ID 0-0,589 TO -5,99 2,98 OO OO 2-0,589 O O n 2,98 oo o 0-0,5891 no 0 0 2,98 oo 0-0,589 0 2 noo 2,98 0 -0,589 3 0 20 000 2,98-5,99 2,98 0-0,589 0-1 0 oo oo c 033506 0-3,8 0,015 n n 0,3750 6 0 0 22,980000 Cuja solução fornece os seguintes valores nodais: T-1 = 493,8 OCTO = 475,3 11 devido ao uso de operadores em diferenças de formulação central. Existem dlversas formas de se evitar isto. podemos utillzar peradores de formulação esquerda e direita quando estivermos operando a equação diferencial e as condições de contorno respectivamente nas extremidades direita e esquerda da haste.

Outra forma, mais comumente empregada, requer um pouco de manipulação anal[tica e consiste em deduzir operadores especiais para o contorno, considerando conjuntamente a equação diferencial e a condição específica de contorno. 2. 1 Problemas Bidimensionais A introdução do método das diferenças finitas foi feita através de um problema de condução estacionária de calor em uma barra delgada. Veremos agora como o método pode ser aplicado ? problemas bidimensionais em partículas, uma vez que sua extensão para problemas n-dimensionais é muito simples. Consideremos então o problema de condução estacionária de calor em uma placa plana – Figura 5.

As equações que descrevem este caso são (x,y) [0,1] x [0,1] 100 x) Figura 5 caso unidimensional, o primeiro passo é realizar uma partição no domínio. A solução obtida deverá satisfazer de forma aproximada as equações do problema somente nos nós da malha de discretização. Seja então a malha indlcada na Figura 6. Os nós são definidos por pares de pontos (xn,ym), para n = e m = 0,1,2,… M, e a temperatura nestes pontos ou nós é identificada por Tn,m Figura 6 Qualquer variável dependente da posição pode ser indicada da mesma forma. para expressar as denvadas parciais em função dos parâmetros nodais, procedemos de forma análoga ao exemplo unidimensional.

Tomamos alguns nós centrados em (xn,ym) por exemplo, e interpolamos um polinômio bidimensional P(x,y) conveniente de forma que é possível obter Tn +1, m — ô 2TôX2 n —1, môPz- Tn +1,m —2 – Tn,m + Tn a 2Tôy 2 -1,ma2P- —2 = ôx m,nA2 PAGF40F11 axDyC]AÜ Dn,m As condições de contorno são igualmente expressas em iferenças, de acordo com nossa notação: = Tn,o = O – -ro,m = O = -rn,m = O = Tn,m = 100 sen(n x) O terceiro passo se resume em montar e resolver o sistema de equações algébricas. No exemplo anterior o operador em diferenças foi aplicado em todos os nós da malha, inclusive aquelas em que já conhecíamos a temperatura. pelo fato de estarmos utilizando operadores em diferenças de formulação central isso redundou na inclusão de parâmetros nodais fictícios ou externos à malha original e, consequentemente, num aumento da ordem do sistema de equações.

Em problemas unidimensionais esse aumento não é ignificativo mas em problemas bi e tridimensionais podem surgir sérias dificuldades computacionais devido a esse fato. por exemplo, no caso em estudo temos uma malha com 16 nós dos quais desconhecemos a temperatura em apenas 4 deles (Figura 6). Aplicando o operador em diferenças em todos os 16 nós teríamos, pela inclusão dos nós externos, um sistema com 32 incógnitas e 32 equações. É muito mais simples aplicar o operador em diferenças apenas nos 4 nós em que desconhecemos a temperatura a aplicar as condições de contorno diretamente nas 4 equações resultantes Assim, aplicando o operador em dif