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COMBINAÇAO LINEAR Uma expressão da forma alul + a2u2+ . . +anun w, onde al, . ,an são escalares e ul, u2, . ,un e w, vetores do (n chama-se combinação linear. Em outras palavras, sejam V um espaço vetorial real ( ou complexo), VI, v2,… ,vn (V e al números ( (ou complexos). Então o vetor [pic] é um elemento de V, e dizemos que “v” é uma combinação linear de vl W = [ vl , … ,vn] é chamado subespaço quando por vl , … ,vn. Por exemplo, os v OF9 1) geram o espaço ve rid • wip view next page pode ser escrito com especificamente: (x, y, z) 1,0) z(0, O, 1) vetor (a, b, c) ( R3

Sendo u = (x, y, z) se o sistema de equações lineares resultante da combinação linear não for consistente, isto é, não tiver solução, então o vetor não pode ser escrito como combinação linear, logo não gera um espaço. Exemplos. : 1) Sejam [picl e os escalares al = 2 e a2 = -1. Podemos encontrar um vetor (x, y) que seja combinação linear de [pic] [pic]tx, Y) = 2. (3, 1) + I 4) = (4, -2) = [PiC] 2) Sejam os vetores (1, -3, 2) e (2, 4, -1). O vetor (-4, -18, 7) pode ser escrito como c combinação linear de [pic]. -18, 7) = al . (1, -3, 2) + a2. (2, 4, -1) [PiC]

COMBINAÇOES LINEARES E SUBESPAÇOS GERADOS Seja um vetor espaço vetorial. Considere um subconjunto [pic] ( V, com A ( O conjunto S de todos os vetores de V que são combinações lineares dos vetores de A é um subespaço vetorial de V. O subespaço diz-se gerado por [pic] Ou seja: S = G (A) ou [PiC] Os vetores vl , … vn são chamados geradores de S e A é o conjunto gerador. Exercícios: 1) Os vetores i = (1, O) ej = (O, 1) geram o espaço vetorial (2, pois qualquer (x, y) é combinação linear de e j. 2) Os vetores O, O), [picl 1, O) e [picl O, 1) geram o espaço vetorial (3.

Obs. : i, j e k são chamados de vetores unitários, e também podem ser representados 2 al (1, O, 0) + (0, O, 1). (x, y, z) = (al, O, O, a2) = (al, O, a2) ( x = al Obs. : Sé o plano xz DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR Definição. Seja V um espaço vetorial e [pic] V. Dizemos que o conjunto é linearmente independente (LI) ou os vetores [pic]são L. l. se a equação: [pic]( implica que [pic]. No caso em que exista algum [picl é linearmente dependente (CD) ou que os vetores VI, v2, , vn são LD. Em outras palavras, seja um conjunto de vetores de mesma dimensão: [picl

Se a única combinação linear que resulte no vetor nulo for a trivial, isto é, aquela em que os coeficientes são nulos: então dizemos que os vetores vN são linearmente independentes. por outro lado, se houver alguma combinação que produza o vetor nulo, em ue os coeficientes não se anulam, então dizemos que os vet earmente dependentes. 3 são dependentes. • VI, v2, v3 e v4 são sempre dependentes em R3. Verifique se os conjuntos são LI. ou L. D. [pic] al(l, 2, 0) + a2(0, 1, 1) + CO, O, 0) 3) 4), (6, 12)} al(2, 4) + a2(6, 12) = (0,0) Obs. : Sempre que o conjunto A tiver elementos múltiplos, eremos um conjunto C. D. No caso anterior, [pic]. 4) O, 2), (2, 0,4)} é C. D. 5) A = O, 0), (2, 3, 4), (5, 6, 7) } [picl 6) [PiC] Obs. 2: para gerar o V = (2 é preciso de 2 vetores Para gerar o V (3 é preciso de 3 vetores Para gerar o V = M2X2 é preciso de 4 vetores 4DF9 dependentes se, e somente se, um deles é combinação linear dos outros. 2. Se dois vetores vl . ,vm, são iguais, digamos v2, então os vetores são dependentes. Pois vl- v2 = 0 3. Dois vetores vl ev2 são dependentes se, e somente se, um deles é múltiplo do outro. . No espaço real R3 a dependência de vetores pode ser escrita eometricamente como segue: dois vetores quaisquer u e v são dependentes se, e somente se, estão na mesma reta passando pela origem; três vetores quaisquer u, v e w são dependentes se, e somente se, estão no mesmo plano passando pela origem Exercícios 1) Verifique se o conjunto B { (1, -1), (O, 1) } é uma base do V = (2: al. (l, -1)+ a2. (0, 1) = (0, 0) ( -al +a2 b) B gera o V = (2 ? Devemos escrever todo e qualquer [pic] ( (2 como combinação linear de [pic]. [PiC]. -1) + a2. 0, 1) (al = x y- -al +a2 ( a2=x+Y Logo, B gera o (2 2) verifique se B = 3), (4, 6)} é uma base do V- (2 B é C. D. , logo não é base) 3) O, 1), (0,0, 1)} é uma base de (3 ? ( Não, pois precisamos de a gerar o (3. ) S de (3 ? ( Não, pois precisamos de 3 vetores para gerar o (3. ) 4) 0), (0, 1)} é uma base de (2 ? (Sim, e é chamada de Base Canônica) 5) O, 0), (0, 1, 0), (0, O, 1)} é uma base de (3? (É a base canônica do (3) Obs. 1: sejam = (1, O, 0), = (0, 1, O, en = (0, O conjunto g = { el, é uma base de (n, chamada de Base canônica do (n. Definição.

Diz-se que um espaço vetorial V é de dimensão finita n ou é n-dimensional, e escreve-se dim V = n se existem vetores inearmente independentes el, e2, . a, en que geram V. A seqüência {el, e2, … , en} é então chamada de uma base de V Teorema. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita. Então, todas as bases de V tem o mesmo número de elementos. Seja V de dimensão finita n. Então: i) Qualquer conjunto de n + 1 ou mais vetores é linearmente dependente ii) Qualquer conjunto linearmente independente é parte de uma base, isto é, pode ser estendido a uma base iii) Um conjunto linearmente independente com n elementos é uma base.

Exemplo Os quatro vetores em R4 (1 (0,0, 1,1), são inearmente independentes, ois formam uma matriz escalonada. Além disso, como dim R4 am uma base de u. uma base de R4. Dimensão é o número de elementos necessários para gerar um espaço vetorial. Estes elementos, formam uma base que gera o espaço V. Ex. : V = (2 então dim. V = 2 V (3 então dim. V = 3 M2X2 entao dim. ( [PiC] V = M2x3 então dim. V = 6 V = M2x1 então dim- V = 2 Mmxn então dim. V = m. n TEOREMA: Se dim V = n, qualquer conjunto de “n” vetores LI. formará uma base de V. BASE ORTOGONAL E BASE ORTONORMAL Diz-se que uma base {VI, v2, . n} de V é ortogonal se os seus etores são dois a dois ortogonais. Exemplos: {(1 (l é uma base ortogonal do R3. Mostre que, o conjunto B = { (1, O), (2, -1) } é uma base ortogonal em relação a esse produto interno. (1, -l) = 2-2 +0=0 ( Bé ortogonal. Uma base B = {VI, v2, , vn} de um espaço vetorial euclidiano V é ortonormal se B é ortogonal e todos os seus vetores são unitários, isto é:[pic]. (1, 2), (-2, 1) uma base ortogonal em relação ao produto interno usual. Construir uma base B’ ortonormal. Prova: [pic] Exemplo. 2: O conjunto B = { (1, 3), (3, a) } é uma base ortogonal do V = (2 em elação ao produto interno usual. ) Determine o valor de “a”. b) A partir de B, construa uma base B’, ortonormal. Exemplo. 3: A partir de [pic]construa uma base B ortogonal do V = (2 em relação ao produto interno usual. A partir de B, construa uma base B’ ortonormal. a) {[pic]} 2), (x, (1, 2), (x, y) x +2y 0 ( x = -2y ( (-2y, y) Podemos tomar (y ( O. Por exemplo, y = -1 ex Logo, 2), (2, 1)} b) [pic] Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt De um espaço vetorial euclidiano V e uma base qualquer B v2, vn} desse espaço, é possível a rtir dessa base, determinar uma base orto re-se: W 1 = VI e 8 uma base qualquer chama-se processo de ortogonalização de Gram-Schmidt. ara se obter uma base ortonormal, basta normalizar cada wi, fazendo [pic]. Dessa forma, dado um espaço euclidiano V e um a base qualquer B = { [pic]} desse espaço, é possível, a partir dessa base, determinar uma base ortogonal de V. [picl( base ortogonal e B base ortonormal. Bibliografia Recomendada 1. Simon, Carl & Blume, L. Matemática para Economistas. Tradução: Claus Ivo Doering. Porto Alegre: Bookman, 2004. 2. braga, Márcio Bobik; KANNEBLEY JÚNIOR, Sérgio; ORELI_ANO, Verônica I. F. Matemática para economistas.

São Paulo: Atlas, 2003. 3. Boldrini, José Luiz. Álgebra linear: 591 problemas resolvidos. 442 problemas suplementares. Ed. Harbra, 2004. 5. LIPSCHUTS, Algebra linear. Ed. PEARSON EDUCATION DO BRASIL LTDA, 2004 6. DAVID, C. Lay. Álgebra Linear e suas Ap icações. Editora: LTC, Rio de Janeiro, 1999. 7. KOLMAN, Bernard. Introdução a Álgebra Linear com Aplicações. Ed. prentice-l-qall do Brasil, 2000. 8. ANTON, Howard. Elementary Linear Algebra. 3a ed. John Wiley & Sons, 1981 Recomendo que vocês exe g onhecimentos na lista de