Simplex method
Simplex method PESQUISA OPERACIONAL TP052 CURITIBA, MARÇO DF 2012 Estas notas de aula foram feitas para compilar o conteúdo de várias referências bibliográficas tenda em vista a conteúdo programático da disciplina de Pesquisa Operacional I-TPO„ Apostila de ppt PRINCIPIOS INFORMATICA 1 OBJETIVO PRATICA 05 Apresentar o PowerPoint, que é o software para montar apresentações na forma de slides da Microsoft. Isso será feito seguindo-se uma seqüência mostrando como montar uma apre…
O significado da sociologia para o contador TRABALHO DOCENTE ALIENADO Autores; Jeannette F. P, Ramosl , sarnara Almeida Chaves2 e José Gilberto Biserra Maia3 Instituição; Universidade Estadual do Ceará – UECE GT 09; Trabalho e Educação RESUMO Este artigo anal… Loading,-, Pensamentos sobre portugal Portugal S. R Extractos para Leitura e Reflexão “As universidades, que vivem em circulo fechado, mas também o regime partidário, a sua visão mediocre do futuro, a falta de imaginação e a falta de coragem politicas contribuiram lar… onceitos sistema toyota lust in Time Em um processo de fluxo, as partes corretas necessárias montagem alcançam a linha de produção no momento em que são necessários, a quantidade necessária e isentas de defeitos. AJtonomação(Jidoka) São d. Projeto planetaria PROJETO CONHECENDO SEU ESPAÇO: INTRODUÇÃO: As turmas de 5′ série,á 8′ série. faráo uma visita aa Planetária Estelar para vivenciar assuntos relativos ao que vem sendo trabalhados em sala de aula, A principal função do trabalho…
Pof pesquisa A Pesquisa de Orçamento Familiar. POE feita pelo Instituto Brasileira de Geografia e Estatística (IBGE), tem como objetivo traçar o perfll do consumo limitação (restrição) x2 + y2 =136. 4) (Erico Fagundes Anicet Lisboa, http://wmv. ericolisboa. eng. br) Uma empresa de comida canina produz dois tipos de rações: Tobi e Rex. Para a manufatura das rações são utilizados cereais e carne.
Sabe-se que: n o pacote de ração Tobi é vendido por $ 20 e o pacote de ração Rex por $ 30; a ração Tobi utiliza 5 kg de cereais e 1 kg de carne, e a ração Rex utiliza 4 kg de carne e 2 kg de cereais; LI o kg de carne custa $ 4 e o kg de cereais custa $ 1; n estão disponíveis por mês 10 000 kg de carne e 30 000 kg de cereais. Deseja-se saber qual a quantidade de cada ração a produzir de modo a maximizar o lucro. ” max (max) cl xl s. a all xl a ml xl DXI CIO cn xn alnxn bl Prof. Volmlr Wilhelm . aspecto geral de um pl) a mn x n bm xn UFPR TP052 2 – Pesquisa Operacional 3 – FORMULAÇAO Pesquisa Operacional foi a denominação dada ao conjunto de processos e métodos de análise desenvolvidos por grupos acadêmicos que assessoravam as forças militares durante a 2 a guerra mundial. (logistica, canhões antiaéreos, bombardeio a submarinos, O marco definitivo na afirmação da pesquisa operacional foi a publicação or G. Dantzig em 19047 do método simplex para a programaç 2 OF sg do método simplex para a programação linear. Modelos É uma idealização, ou uma versão simplificada da realidade.
A partir dessa idealização, o modelo emprega símbolos matemáticos para representar as variáveis de decisão do sistema real. Essas variáveis são relacionadas por funções matemáticas que expressam o funcionamento do sistema. A solução consiste em encontrar valores adequados das variáveis de decisão que otimizem o desempenho do sistema, segundo o critério desejado. (simplificação do sistema) Modelos de programação linear Os modelos de programação linear têm as seguintes características: a) Variáveis: são as variáveis de decisão não negativas do modelo. ) Restrições: é o conjunto de quações e inequações lineares que expressam as relações e interdependências entre as variáveis de decisão. c) Função objetivo: é uma função linear que constitui um critério de escolha do valor das variáveis de decisão. A função objetivo deve ser minimizada ou maximizada O aspecto de um modelo geral de programação linear é max cl xl s. a all xl n n ml xl Cl Cl xl C] 0 Em notação matricial pode-se escrever cn xn alnxn L] bl a mnxn[] bm xn 20 maxZ D cx s. Ax Cl b xD0 Exemplo 1: Suponhamos que uma empresa fabrica 2 produtos (1 e 2) e consegue vender toda a produção. Cada produto requer sg ma empresa fabrica 2 produtos (1 e 2) e consegue vender toda a produção. Cada produto requer certo tempo de produção nos três departamentos de fabricação. Atualmente cada departamento tem uma quantidade fixa de homens-hora disponvel por semana. O problema é decidir quanto fabricar de cada produto para se fazer o melhor uso das instalações produtivas.
Dados os lucros unitários de cada produto, então a administração da empresa deve então designar os recursos fixos de modo a otimizar alguma função objetivo e ainda satisfazer algumas outras condições definidas (as restrições). Prof. Volmir Wilhelm TP052 – 3 Pesquisa Operacional produto 1 2 Departamento A BC produto 1 2 Tempo de fabricação, horas Departamento A Departamento B Departamento C 2 1 42 2 2 Homens hora/semana disponível 160 120 180 Lucro unitário 1 1,5 Sejam xl e x2 respectivamente as quantidades a serem produzidas de cada produto. 4 sg toneladas de fosfato-Hi, ou 600 toneladas de fosfatou, ou qualquer “combinação apropriada” destes dois fertilizantes. Sabe-se que não há dificuldade quanto à colocação no mercado de fosfato-Hi, enquanto que para o fosfato-l_i não se pode ultrapassar a cota de mercado fixada em 500 toneladas por mês. Formule o problema em termos de programação linear. 7 Uma empresa possui 3 fábricas onde existe capacidade de produção em excesso. Todas as fábricas estão aptas a produzir um novo produto e a direção decidiu usar desta forma parte da capacidade disponível.
Este novo produto pode ser fabricado em 3 tamanhos (grande [G], médio [M] e pequeno [P]), que dão um lucro unitário de 42, 36 e 30 contos, respectivamente. As fábricas 1, 2 e 3 têm capacidade em excesso para produzir diariamente 750, 900 e 450 unidades deste produto, respectivamente, independentemente dos tamanhos ou combinação de tamanhos. 5 O espaço de armazenamento disponivel impõe uma limitação na produção do novo produto. As fábricas 1, 2 e 3 têm 13000, 12000 e 5000 m? de espaço de armazenamento disponível, respectivamente, para um dia de produção.
Cada unidade dos produtos G, M e P produzida por dia necessita de 20, 15 e 12 m2, respectivamente. As previsões de vendas indicam que podem ser vendidas s OF sg 15 e 12 m2, respectivamente. As previsões de vendas indicam que podem ser vendidas diariamente 900, 1200 e 750 unidades dos produtos G, M e P, respectivamente. Para manter uma força de trabalho uniforme nas fábricas e dispor de alguma flexibilidade, direção decidiu que as fábricas devem usar a mesma percentagem da sua capacidade em excesso para produzir o novo produto.
A direção pretende saber quanto de cada tamanho deve ser produzido em cada fábrica, de modo a maximizar o lucro total. Construa um modelo matemático de programação linear para o problema, explicitando o significado das variáveis de decisão, restrições e função objetivo. 8 Uma pequena fábrica de papel toalha manufatura três tipos de produtos A, B e C. A fábrica recebe o papel em grandes rolos. O papel é cortado, dobrado e empacotado. Dada a pequena escala da fábrica, o ercado absorverá qualquer produção a um preço constante. O lucro unitário de cada produto é respectivamente R$ 1,00, R$ 1,50, e R$ 2,00.
O quadro abaixo identifica o tempo requerido para operação (em horas) em cada seção da fábrica, bem como a quantidade de máquinas disponíveis, que trabalham 40 horas por semana. Planeje a produção semanal da fábrica. Produto A Produto B Produto C Q . de Máquinas Corte 8 52 3 Dobra 5 104 10 Empacotamento 0,7 1 2 2 9 Certo fabricante de combustível para awao v 6 sg 85 2 3 Dobra 5 104 10 Empacotamento 1 2 2 9 certo fabricante de combustível para avião vende dois tipos de ombustível, A e B. O combustível de tipo A possui 25% de gasolina tipo 1, 25% de gasolina tipo 2 e 50% de gasolina tipo 3.
O combustível de tipo B tem 50% de gasolina tipo 2 e 50% de gasolina tipo 3. Há disponível para produção de 500 litros-hora de gasolina tipo 1 e 200 litros-hora de gasolina tipo 2 e 3. Os custos são de 30 centavos por litro tipo i, 60 centavos por litro tipo 2 e 50 centavos por litro tipo 3. O preço de venda do combustível tipo A é de 75 centavos por litro e o do tipo B é e 90 centavos por litro. 10 Uma companhia deseja desenvolver um alimento energético para atletas. ? necessário que o alimento contenha pelo menos 20 gramas de proteína, 40 gramas de carboidratos e 900 calorias.
O lanche é feito a partir de três ingredientes, denotados por A, B e C. Cada onça (28,35 gramas) do ingrediente A custa $0,20 e rende 8 gramas de proteína, 3 ramas de carboidratos e 150 calonas. Cada onça do ingrediente B custa $0,10 e rende 2 gramas de proteína, 7 gramas de carboidratos e 80 calorias. Cada onça do ingrediente C custa $0,15 e rende S gramas de proteínas, 6 gramas de carboidratos e 100 calorias. (4,0 pontos). Formule um problema de programação linear-ppl para determinar quanto de ada ingrediente devera s pontos).
Formule um problema de programação linear-ppl para determinar quanto de cada ingrediente deverá ser usado para minimizar o custo do lanche. 11 Um estudante, na véspera de seus exames finais, dispõe de 100 horas de estudo para dedicar às disciplinas A. B e C. Cada um destes exames é formado por 100 questões, e ele (aluno) espera acertar, alternativamente, uma questão em A, duas em B ou três em C, por cada hora de estudo. Suas notas nas provas anteriores foram 6,7 e IO respectivamente, e sua aprovação depende de atingir uma média minima de 5 ontos em cada disciplina.
O aluno deseja distribuir seu tempo de forma a ser aprovado com a maior soma total de notas. Escreva o ppl associado. 12 A partir de três insumos (I, II e III), uma companhia fabricas dois produtos (A e B). Uma unidade de A requer 20 unidades de e 10 unidades de II; com 10 unidades de l, 10 unidades de II e 5 unidades de III é produzida uma unidade de 3. No processo de fabricação de cada unidade de A, resulta na produção adicional de 2 unidades da matéria prima III. O lucro líquido obtido com a venda de uma unidade de A é 30 R$ e de B também é 30 R$. Há a disposição 600 unidades de l; 500 unidades de II e 150 unidades de III.
Formule o problema de programação linear-ppl que maximize o lucro Seção de Pesq 8 OF sg 6 4 – RESOLUÇÃO GRÁFICA a) max s. a Solução Única L 26×1 08x230x1 020x203105x1 , x 20 = 494/5 b) min s. a = 98,8 XI = 21/5 = X2 – 46/5 -92 Solução Múltipla Z nsxl n 10x2nx1 nx2C12x1 n 5x2C163x1 D5x2C1155x1 04×2Ü20×1,x2no z = 30, XI = n = z = 30, XI = 5, X2-o c) Solução Degenerada z Ü4×1 ,x200 Axo b Dl n,xNnnx1 , x6ClClO B2C]2 a Matriz B sempre quadrada e tal que Dl , x2 , x3 , x4n 00 000 8 60 é denominado de solução ásica Seja um sistema com m equações e n variaveis.
Considere uma partição básica A C] N C] e a seguinte solução obtida ao se fixar as n – m variáveis de XN, em zero, é: B DIb O O Z LI 0 A solução x assim obtida é chamada SOLUÇÃO BÁSICA. Se x B n B Olb DO , dizemos que xé uma n SOLUÇÃO BÁSICA VIÁVEL Além disso, se x B l) B CII b C] 0, dizemos que x é uma SOLUÇÃO BÁSICA VIÁVEL NÃO DEGENERADA. Obtendo todas as soluçoes básicas I)XBC] , x4L]xaa nxl ,x5DxBCl [lxi ,x6El 2) ox2,x30xBC] , x5 , x6 , x6 n m! 6! 654321 m 2 Cm n 5)xBCl nx5 , x6 n n 15 n D! 2! 4! 2432 0 DF 59