Filosofia
FACULDADES INTEGRADAS IESGO POS-GRADUAÇAO EM LINGUA PORTUGUESA O ESTUDO DE OGARITMO FORMOSA – DEZEMBRO DE 2006 Jailton Tadeu Bezerra Joliet Chaves Campos Siqueira Lucineide Francisco Teles O ESTUDO DE LOGARITMO Monografia apresent – IESGO – Instituto d 0 e Pós – Graduação ás como parte dos ialista em Educação requisitos para a obt Swipe nentp Matemática Orientador: : Prof. Rogério César FORMOSA – 2006 Ao Professor Orientador, braço amigo de todas as etapas deste trabalho. À minha família, pela confiança e motivação.
Aos amigos e colegas, pela força e pela vibração em relação a esta jornada. Aos professores e colegas de Curso, pois juntos trilhamos uma etapa importante de nossas vidas. Aos profissionais observados, pela concessão de informações valiosas para a realização deste estudo. A todos que, com boa intenção, colaboraram para a realização e finalização deste trabalho. Aos que nao impediram a finalização deste estudo. Principalmente a Deus, por todas as bênçãos concedidas em nossas vidas, por conduzirmos em caminhos de conhecimento e sabedoria, pois, somente a ele vencer nossa fé.
Esta força estranha faz com que sempre omemos a decisão certa, na hora exata e, quando atingimos nosso objetivo, ficamos surpresos com nossa própria capacidade. ” Paulo Coelho Resumo Este trabalho de conclusão de curso de pós – graduaçao destina -se a investigação do estudo de logaritmo no processo de ensino — aprendizagem. Inicialmente discutimos como a matemática é vista pelos educandos. Apresentamos uma breve contextualização das primeiras concepções e estudo do logaritmo. Desenvolvemos suas propriedades e ressaltamos seu uso em diversos tipos de aplicações.
Palavras – chaves: Ensino aprendizagem; Estudo do logaritmo. ABSTRACT This conclusion work of post – graduction nas a goal to investigate the stridy of logaritmos In the learnng – teaching first, we discussed how mathenatics is seen by the students. We showed a quick contextualization of the first concepts and study about logaritmos. We developed its properties and showed its use in several types of application. SUMÁRIO Capitulo 1 Ensino de Logaritmo. 9 Capitulo 2 Contextualização Histórica Fundamentação Teórica……. 20 Capitulo 4 Aplicações.. . 11 capitulo 3 .. 30 Ca itulo 5 Conclusão……. …… 40 Bibliografia……. 2 APRESENTAÇAO Este trabalho retrata o estudo de logaritmo para o processo de ensino aprendizagem. A pouca importância que é dada a este conteúdo, despertou nosso interesse para pesquisarmos sobre o assunto. O ensino da matematica tem privilegiado o caráter reprodutivo ao logo dos anos, o medo de ousar em determinados conteúdos inibe tanto o educador como o educando, mediante a Isso a contextualização do conteúdo é capaz de despertar o interesse e o raciocínio. ara que haja melhor compreensão, o trabalho está organizado por capitulos. No capitulo 1 discutimos obre a visão da matemática e a construção de aprendizagem matemática. No capitulo 2 descrevemos o desenvolvimento dos primeiros conceitos logaritmos e alguns caminhos percorridos por matemáticos. No capitulo 3 apresentamos o desenvolvimento das propriedades e conceitos para a compreensão do logaritmo e no capitulo 4, aplicaremos conceitos de logaritmos em situações que envolvem o cotidiano. Capítulo 1 1. Ensino de Logaritmo A matemática sempre foi vista como uma disciplina monstruosa, e uma das maneiras de mudar esse quadro é possibilitando que o aluno a reconheça em seu cotidiano. Há uma certa “distância” entre a matemática de rua e a da escola, fórmulas, conceitos, teorias e símbolos a separam do cotidiano escolar e isso faz com que comecem a surgir os monstros matemáticos, que se torna 30 separam do cotidiano escolar e isso faz com que comecem a surgir os monstros matemáticos, que se tornam reais diante de situações escolares nas quais fracassamos.
Na atividade escolar o monstro aparece muitas vezes, no já esperado encontro do educando com o professor de matemática que faz questão de se mostrar distante dos alunos. para o professor, a idéia de ser um onstro traz certa acomodação, afinal, é mais fácil apresentar aulas expositivas e manter-se alienado ao que o aluno pensa, do que levá-lo a busca do conhecimento. Já o aluno não enfrenta, mas sim, foge do monstro, pois é mais viável deixar que ele escape e esquecer que ele existiu do que enfrentá-lo e superá-lo. Lins, C. R. 2004 “Criamos os monstros e, esperançosamente, queremos que eles fiquem “para lá”, apenas sombras. Esta é a tese original: o monstro fica pendurado na fronteira da monstruosidade mesma, demarcando-a. é preciso, neste ponto, discutir o que esse “criar’ uer dizer, como eu já disse, este não é um ato autônomo que pudéssemos não ter realizado. ” Quando há sentido no que se aprende e no que se ensina, o monstro da matemática se torna cada vez menos nocivo, o medo se afasta e o monstro tende a ser visto como um desafio que promove a construção dos conhecimentos.
A discussões atuais em Educação Matemática propõem transformar o monstro monstruoso da matemática em um de estimação, ou seja, que a matemática não seja uma disciplina de fórmulas e símbolos, mas de compreensão e construção do conhecimento, que o educador conheça r 4 30 órmulas e símbolos, mas de compreensão e construção do conhecimento; que o educador conheça realmente o que está ensinando e que o educando saiba o porquê e para quê estudar tais conteúdos e perceba a matemática de forma prazerosa e não mais com repugnância.
A Matemática escolar transmitida na perspectiva do ensino tradicional que limita-se a memorização de símbolos e fórmulas, sem as vantagens da compreensão, e que nao considera os recursos da curiosidade, experimentação ou da concretização não serve para a sociedade atual. Ao longo do processo ensino-aprendizagem é necessário fazer com que s alunos aprendam a ler, a interpretar textos também em matemática e compreender a necessidade e a utilidade de aplicar os conceitos matemáticos que aprenderam.
Mediante as informações sentimos atraídos em destacar uns dos principais conteudos do ensino médio, ou seja a visão e as dificuldades no ensino de logaritmo, pois o mesmo é um conteúdo presente na vida escolar do educando e a dificuldade em que os educadores tem para transmitir de forma clara, objetiva e principalmente contextualizada. O estudo de logaritmo inicia-se com o aprendizado das propriedades de potencia e raiz, passando para estudo de exponencial para finalmente depois do aprendizado destes tópicos se inicia com o estudo das propriedades dos logaritmos em si.
Por este motivo ao ensinar as propriedades logarítmicas tem-se que fazer uma revisão dos tópicos anteriores para que se tenha uma melhor compreensão do conteúdo. É notório frisar um pouco d tópicos anteriores para que se tenha uma melhor compreensão do conteúdo. É notório frisar um pouco da parte histórica, para que o estudante tenha uma idéia da importância deste conteúdo para a humanidade e que o logaritmo nao foi criado por acaso sm para facilitar as nossas vidas, o mesmo tem que ser bem explicado e mostrando-se onde ele é aplicado em nossa vida.
E com isso incentivando o educando na construção do conhecimento. Capitulo 2 2. 1 Contextualização Histórica Neste referencial teórico procuraremos fazer um breve apanhado desde o surgimento da definição de uma função passando por alguns dos elementos que ajudaram a fundamentar as teorias de função para finalmente entrarmos no assunto especifico, funções logar[tmicas. Leibniz não é responsável pela moderna notação para função, mas é ele que se deve a palavra função, praticamente no mesmo sentido em que se é usado hoje.
A palavra função tem tudo haver com Leibniz, a qual parece ter sido introduzida por ele em 1 694 para expressar coordenadas de um ponto da curva, a inclinação de uma curva e o raio da curvatura de uma curva. Em 1718 Johann Bernolli havia considerado uma função como uma expressão qualquer, formada de uma variável e algumas constantes; passado algum tempo Euler considerou uma função como sendo uma equação ou fórmula qualquer envolvendo variáveis e constantes, sendo que, este conceito de Euler nunca e alterou, sendo usado até nos dias de hoje.
Para poder terem uma forma mais ampliada sobre função, Lejeune Dirichlet (1805-185 6 OF30 dias de hoje. Para poder terem uma forma mais ampliada sobre função, Lejeune Dirichlet (1805-1859) chegou a seguinte formulação: uma variável é um símbolo que representa qualquer um dos elementos de um conjunto de números; se duas variáveis x e y estão relacionadas de maneira que sempre que se atribui um valor a x, corresponde automaticamente por alguma lei ou regra um valor a y, então se diz que y é uma função (unívoca) de x.
A variável x, a qual se atribuem valores a vontade, é chamada variável independente e a variável y cujos os valores dependem dos valores de x, é chamada variável dependente. Os valores possíveis que x pode assumir constituem o campo de definição da função e os valores assumidos por y constituem o campo de valores da função. Diofanto de Alexandria foi uma das pessoas mais importante na evolução da Álgebra razão pela qual é muitas vezes denominado “pai da Álgebra”. Na verdade, é a partir dele que se começam a utilizar incógnitas para simbolizar quantidades desconhecida.
Diofanto definia “incógnita” como ma quantidade que “continha um indeterminado, ou indefinido múltiplo da unidade”. Ou seja, ele foi responsável por grande parte do desenvolvimento da linguagem matemática. Os coeficientes das incógnitas eram colocados imediatamente a seguir as incógnitas, como por exemplo: Ky K ç = 26x 5 Ayxo u = 250 2. 1 2. 2 A adição era indicada por mera justaposição como: K y a y r y corresponde a x 3 + 13x + 5x . Quando havia unidades a somar, eram indicadas por abreviaturas: K ya corresponde ax3+ 13x 2 + 5x .
Quando havia unidades a somar, eram indicadas por abreviaturas: K ya M p corresponde x + 13×2+5X+2. 2. 4 2. 3 A notação para uma função de f(x) para uma função de x é uma notação associada a Euler. Os trabalhos sobre as diversas áreas da Engenharia Mecânica, da Optica a astronomia, da musica a matemática (curvas, series, cálculo de variações, cálculo infinitesimal, geometria, álgebra) levaram Leonard Euler (1707-1783) a ser reconhecido como o matemático mais produtivo.
Quando Euler morou em Berlim ganhou o habito de escrever os artigos e coloca-los numa pilha, sendo que, sempre necessitava de material para publicações, retiravam os artigos das mesmas. Lejeune Dirichlet (1805-1859) era muito admirado pela ligação que tinha entre a matemática e os matemáticos tanto da Alemanha como da França, pois dominava as dois idiomas. Uma das realizações mais contundentes e de relevância par ele, talvez tenha sido a análise penetrante que fez da convergência das séries de Fourier, levando-o a generalizar o conceito de função.
Dirichlet contribuiu muito para facilitar a compreensão de alguns dos mais confusos métodos de Gauss, mas também deu colaborações próprias notaveis à teoria dos números. Um dos maiores e apresentado como o maior algebrista alemão do século XVI, teve uma obra publicada em 1 544 Arithmética integra na qual se dividia em três partes, sendo que, na primeira parte Stifel salienta as vantagens de se associar uma progressão aritimetica a uma geométri Stifel salienta as vantagens de se associar uma progressão aritimetica a uma geométrica, premiciando assim de quase um século a invenção dos logaritmos.
Como sabemos hoje, o poder dos logarítmicos como instrumento de cálculo repousa no fato de que eles reduzem multiplicações e divisões a simples operações de adição e subtração. A formula trigonométrica 2 cos A cos B = cos (A+B) cos (A-B), bem conhecida na época de Napier, é visivilmente uma predecessora dessa idéia. Neste caso o produto dos dois números, 2 cos A cos B, é substituído pela soma dos dois números, cos (A+B) e cos (A-B). Pode-se facilmente estender essa fórmula para converter o produto de dois números quaisquer na soma de dois outros números.
Suponhamos, por exemplo, que se pretenda o produto de 437,64 por 27,327. De uma tábua de cosenos, ache, usando interpolação se necessário, os ângulos A e B, tais que cos A = ( 0,43764) = 2 0,21882 cos B = 0,27327. Então, usando de novo a tábua de co-senos, com interpolação se ecessário, encontre cos (A+B) e cos (A-B) e some esses números. Tem-se agora o produto de 0,43764 e 0,27327. Finalmente, ajustando de maneira adequada a virgula decimal na resposta, obtem-se o produto procurado.
Assim, o problema de achar o produto (437,54)(27,327) foi en enhosamente reduzido a um simples problema de adiÇ rmula trigonométrica + sen( A 2 cos A sen B = sen( A + B)- sen(A- B), 2 sen A sen B = cos(A B) — cos(A + B 2. 5 2. 6 2. 7 Essas quatro identidades são às vezes conhecidas como fórmulas de Werner pois ao que parece o alemão Johannes Werner(1468-1528) as usou para simplificar cálculos envolvendo omprimentos que aparecem em astronomia. As fórmulas passaram a ser largamente usadas por matemáticos e astrônomos perto do fim do século XVII como um método de conversão de produtos em somas e diferenças.
O método tornou-se conhecido como prostaférese, a partir de uma palavra grega que significa “adição e subtração”. Uma divisão pode ser tratada da mesma maneira. Assim, utilizando-se de novo a primeira das fórmulas de Werner, temos 2 cos A = 2 cos A sec 2 cos A coscoo -B) = + (900 – B)] + COSIA – (900 cos B 2. 8 Sabemos que Napier estava Inteirado do método da prostaférese, é possível que se tivesse deixado influenciar por ele, pois de outra forma seria difícil explicar por que restringiu seus logaritmos inicialmente aos senos de ângulos.
Mas a abordagem de Naper para eliminar o fantasma das longas multiplicações e divisões difere consideravelmente da prostaférese, e se baseia no fato de que, associando-se aos termos de uma progressão geométrica b, b 2 3, b 4, . b m , b n , os da progressão aritmética 1, 2, 3, 4, m, n, então o produto b mb n = b m+ n de dois termos da primeira progressão está associado à soma m + n dos termos correspondentes da segunda pro 0 DF 30