Geometria
Geometria do 60 Ano 1 -Noçdes de geometria Formas reais e geométricas, ponto reta, ponto 2-Semi-retas e segmento de retas 3-Ângulos Reto, e formato por retas 4-Unidades de comprimento (história e o metro) 5- Poligonal e polígonos O que é, quadriláteros, perímetro de um polígono 6- Curvas Abertas e fechadas 7-Unidades de área or13 to view nut*ge 8-Unidades de volum 9- Unidades de massa 1 -Noções de geometria Antes mesmo de criar as linguagens escritas o homem já tinha atentado para as formas dos seres e objetos existentes no mundo.
Para sobreviver o homem desenvolveu, a milhões e anos atrás, diversos objetos com as mais variadas formas, armas de caça, armas de defesa, calçados, roupas e utensílios domésticos. A palavra geometria resulta de duas palavras gregas, geo=terra, e metria— medida A Geometria tem por objetivo estudar as formas de objetos ou figuras e estabelecer relações entre as medidas de suas partes e entre as suas figuras.
No mundo de hoje, as inúmeras obras de engenharia, arquitetura, construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, etc. Algumas definições Polígono: É uma figura plana formada por três ou mais segmentos de reta que se intersectam dois a dois. Os segmentos de reta são denominados lados do polígono. os pontos de intersecção são denominados vértices do polígono.
A região interior ao polígono é muitas vezes tratada como se fosse o próprio polígono Polígono convexo: É um polígono construído de modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão no interior da figura original. Se dois pontos pertencem a um polígono convexo, então todo o segmento tendo estes dois pontos como extremidades, stará inteiramente contido no polígono. Polígono No. de lados I Polígono No. e lados Triângulo 3 | Quadrilátero 4 | pentágono | 5 Hexágono | 5 Heptágono | 7 Octógono | 8 Eneágono | 9 Decágono | 10 | Undecágono I 11 | Dodecágono I 12 | Polígono não convexo: Um polígono é dito não convexo se dados dois pontos do pol[gono, o segmento que tem estes pontos como extremidades, contiver pontos que estão fora do polígono. Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ângulos são congruentes quando têm as mesmas medidas. Paralelogramo: É um quadrilátero cu’os lados opostos são paralelos. Pode-se mostra ralelogramo: PAGF 13 que num paralelogramo: 1 . Os lados opostos são congruentes; 2.
Os ângulos opostos são congruentes; 3. A soma de dois ângulos consecutivos vale 1800; 4. As diagonais cortam-se ao meio. Losango: Paralelogramo que tem todos os quatro lados congruentes. As diagonais de um losango formam um ângulo de 900. Retângulo: É um paralelogramo com quatro ângulos retos e dois pares de lados paralelos. Quadrado: É um paralelogramo que é ao mesmo tempo um losango e um retângulo. O quadrado possui quatro lados com a mesma medida e também quatro ângulos retos. Trapézio: Quadrilátero que só possui dois lados opostos paralelos com comprimentos distintos, denominados base menor e base maior.
Pode-se mostrar que o segmento que liga os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e o seu comprmento é a média aritmetica das somas das medidas das bases maior e menor do trapézio. Trapézio isósceles: Trapézio cujos lados não paralelos são congruentes. Neste caso, existem dois ângulos congruentes e dois lados congruentes. Este quadrilátero é obtido pela retirada de um triângulo isósceles menor superior (amarelo) do triângulo sosceles maior. “Pipa’ ou “papaga10”: É um quadrilátero que tem d01S pares de lados consecutivos congruentes, mas os seus lados opostos não são congruentes.
Neste caso, pode-se most 13 onais são perpendiculares e que os ângulos opostos ligados pela diagonal menor são congruentes. Formas reais e formas geometricas Forno de microondas – paralelogramo Bola – círculo ou esfera Notebook – retângulo Garrafa – cilindro Ponto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem efinição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem definição. odemos ilustrar com as seguintes idélas para entender alguns conceitos primitivos em Geometria: Ponto: uma estrela, um pingo de caneta, um furo de agulha, Reta: fio esticado, lados de um quadro, . Plano: o quadro negro, a superfície de uma mesa, . EXERCÍCIOS 1) Quais são os elementos fundamenteais da geometria? 2) Que idéia (ponto,reta ou plano) você tem quando obsewa: a) A cabeça de um alfinete. b) O piso de uma sala de aula c) Um grão de areia . d) Um campo de futebol. ) o encontro de duas paredes. f) uma corda de violão bem esticada. 3) Responda: a) Quantos pontos podem marcar num plano? b) Quantas retas podem traçar num plano? ) por dois pontos distintos quantas retas podem traçar? 4) Quais das afirmações abaixo são verdadeiras? a) três pontos podem pertencer a uma mesma reta. b) três pontos distintos sã e are S. a) Quais dos pontos pertencem à reta r? b) Quais dos pontos pertencem à reta s? c) Quais dos pontos pertencem à retas r e s? 6) Obsewe e responda: a) Quais os pontos que pertencem à reta r? b) Os pontos P, M e N são colineares? ) Os pontos P, Me S pertencem à reta r? d) Os pontos P, M e S são colineares? 7) Observe a figura e complete no seu caderno: a) Os pontos AF e b) Os pontos e são collneares. ão colineares. c) Os pontos C, e E são colineares. d) Os pontos 3, e C são colineares. Segmentos Consecutivos, Colineares, Congruentes e Adjacentes Dada uma reta s e dois pontos distintos A e B sobre a reta, o conjunto de todos os pontos localizados entre A e B, inclusive os própnos A e B, recebe o nome de segmento de reta, neste caso, denotado por AB. Às vezes, é interessante trabalhar com segmentos que tem inicio em um ponto chamado origem e erminam em outro ponto chamado extremidade. Os segmentos de reta são classificados como: consecutivos, colineares, congruentes e adjacentes.
Segmentos Consecutivos: Dois segmentos de reta são consecutivos se, a extremidade de um deles é também extremidade do outro, ou seja, uma extremidade de um coincide com uma extremidade do outro. AB e BC são consecutivos MN e NP colineares EF e FG não são colineares I Sobre segmentos consecutivos e colineares, podemos ter algumas situações: Os segmentos AS, BC e CD são consecutivos e colineares, mas os segmentos AB e CD não são consecutivos embora sejam olineares, mas os segmentos de reta EF e FG são consecutivos e não são colineares Segmentos Congruentes: são aqueles que têm as mesmas medidas.
No desenho ao lado, AB e CD são congruentes. A congruência entre os segmentos AB e CD é denotada por AB—CD, é o símbolo de congruência. onde Segmentos Adjacentes: Dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes, se possuem em comum apenas uma extremidade e não têm outros pontos em comum. MN e NP são adjacentes, tendo somente N em comum. MP e NP não são adjacentes, pois existem muitos pontos em comum. Retas paralelas Duas retas são paralelas se estão em um mesmo plano e não possuem qualquer ponto em comum.
Se as retas são coincidentes (“a mesma reta”) elas são paralelas. É usual a notação al b, para indlcar que as retas a e b são paralelas. Ângulo reto: Um ângulo que mede 90 graus. Todos os ângulos retos são congruentes. Este tipo de ângulo é fundamental nas edificações. perpendiculares. POSIÇOES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO Duas retas distintas contidas em um plano podem ser: a) retas concorrentes : quando têm um único ponto comum. b) retas paralelas : quando não têm ponto comum. EXERCICIOS ) Quais das afirmações abaixo são verdadeiras ? ) r e s são concorrentes b) re t são concorrentes c) se t são paralelas d) se p são paralelas 2) Observe a figura e classifique os pares de retas em paralelas ou concorrentes: b) a ec SIMI- RETA c) de b e) ced Um ponto P qualquer de uma reta r divide esta reta em duas partes denominadas semi-retas de origem p. Para distinguir as semi-retas, vamos marcar os pontos A e g pertencentes a cada semi-reta. SEGMENTO Um segmento de reta de extremidades A e B é o conjunto dos pontos que estão entre elas, incluindo as extremidades. SEGMENTO CONSECUTIVO
Dois segmentos de reta que têm uma extremidade comum são chamados consecutivos exemplos: COnsiderando a figura, determine: 5) Observe a figura abaixo e escreva se os segmentos são consecutivos colineares ou adjacentes (consecutivos e colineares) 6) A medida de um segmento é o dobro da medida de outro. Qual é a medida de cada segmento, se a soma das medidas dos dois segmentos é 1 5cm? 7) Observe a figura e responda: GEOMETRIA A geometria, assim como as ciências,nasceu das necessidades e das observações do homem. Os conhecimentos geométricos começaram a ser utilizados muitos séculos antes de Cristo.
No Egito, por exemplo as cheias anuais do rio Nilo destruíam as cercas que demarcavam os campos de plantação. Quando as águas voltavam ao nível normal os escribas egípcios dividiam novamente as terras, baseando-se em registros feitos antes das cheias. Foi a partir de procedimentos como esse dos egípcios que nasceu a geometria experimental. Também a origem da pa avra geometria. Os gregos que amavam o saber, fizeram muitas descobertas a respeito de figuras geométricas. Com eles nasceu, também , a geometria dedutiva PONTO, RETA E PLANO A geometria é construída a partir de três idéias: ponto, reta e lano.
Os matemáticos aceitam essas idéias sem tentar explicá- Você já tem idéia intuitiva sobre onto, reta e plano. Assim: Um furo de agulha num p e ponto. pontos. – Figura geométrica plana é uma figura que todos os seus pontos estão num mesmo plano. exemplos: retângulo, circunferência , quadrado – Figura geométrica espacial é uma figura em que os seus pontos não pertencem a um mesmo plano. 1) Quais são os elementos fundamentais da geometria? R: ponto, reta e plano 2) Que idéia (ponto, reta ou plano) você tem quando observa: a) A cabeça de um alfinete. ponto) b) O piso da sala de aula (plano) ) Uma corda de violão bem esticada (reta) d) O encontro de duas paredes (reta) e) Um grão de areia (ponto) f) Um campo de futebol (plano) POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO Geometria 80 Ano 1 -Segmentos Segmento de reta Transporte de segmento Congruência de segmento Medida de segmento Ponto médio de segmento Uso do esquadro 2-ÀnguIos Quadrilátero Conceito e elementos Côncavo e convexo Quadriláteros notáveis ( trapézio, paralelogramo, losango, retângulo, quadrado) 10- Propriedades dos quadriláteros notáveis Trapézio Retângulo Losangos Quadrados Paralelogramo Base médla dos triângulos e trapézios 1- Circunferência, arcos e ângulos Circunferência e círculo Posições relativas de reta e circunferência Posiçóes relativas a duas circunferências Segmentos tangentes Arcos e circunferências Ângulos inscritos em circunferências Quadriláteros inscritos Arco capaz Medidas As medidas de um objeto geométrico são os números reais positivos que se obtém a partir da comparação deste objeto com outro escolhido como unidade. Estas unidades estabelecem um sistema de medidas. Vejamos um exemplo: Conngruência de segmento de reta Ponto médio de um segm encer ao segmento AB