Geometria
80 c 2, Observe a figura ao lado. Uma escada com seis degraus está apoiada, em C, num muro de 2 m de altura. A distância entre dois degraus vizinhos é 40 cm. Logo, o comprimento da es A distância da base d s or12 é 1,96 m. Assim, o triângulo AB to view nut*ge uro (A) m A em que AB e AC são os catetos e BC a hipotenusa. Ao meio-dia, com o Sol a pino, um pedreiro sobe a escada, degrau por degrau. A sombra de seu pé no chão também vai mudar de posição.
Vamos ver como este exemplo simples nos permite tirar conclusões importantes em matemática. 2m B 1,96 m Relações em triângulos retângulos semelhantes diretamente proporcional ? distância que ele percorreu na escada. Temos também a razão: distância da sombra à base da escada distância percorrida 1,96 = 0,70000 BC3 BC 2,80 BCI BC2 Da mesma forma, a distância da sombra do pé do pedreiro à base da escada é diretamente proporcional à distância que ele percorreu na escada.
Temos ainda: altura do pé AC A2C2 AICI 2,00 12 chão um outro ângulo, B encontraremos as seguintes razões: cateto oposto a B 0,83333 hipotenusa 2,4 0m cateto adjacente a B 0,55417 2,40 ateto oposto a g = 1,50376 Para cada ângulo agudo 3, essas três razões, que só dependem da 19 com o triângulo formado pela escada, pelo muro e pelo chão, temos: b sen — 0,71429 cos B tgB – 1,02041 B — , então c -a sen B = De acordo com o teorema de Pitágoras, temos: b2 + c2 = a2 ) (a • sen BP + (a cos BP cos2 B = a2 Portanto: sen2 B + cos2 B = Se calcularmos o quociente sen B , teremos: • sen2 B + a2 sen 3 tg S. 6 20; sen R=3, cos R =4etgS 410. Num triângulo ABC, retângulo em A, dehipotenusa 15cm, sabe-sequesenB = Determine: a) o catetoAC —x; 12 cm ) o outro cateto; 9 cm c) cos B etgB; 3,4 53 d) sen C , cosc etg C 2 ou cos 450 = 0,707… tg 45a – , )tg450 Seno, cosseno e tangente de 300 e de 600 Na figura inicial temos um triângulo equilátero de lado , cujos três ângulos são Iguais a 600. Ao traçar- mos sua altura que mede , ‘ 3 , indicamos um triângulo retângulo, como mostra a figura central. 300 600 Para o ângulo de 300, temos: razões trigonométricas de um ângulo não especial, como 370, por exemplo, como fazemos?
Teoricamente podemos fazer assim: • com a ajuda de um transferidor, construímos um ângulo de 370: 001 0 10 120 130 20 170 180 30 160 50 4001 180 170 010 150 14 4010 PAGF 19 Quando esticado, o cabo deverá fazer ângulo de 450 com o chão. Qual é o comprimento do cabo? A que distância do poste está o gancho? 450 a Temos: – AC-12etgB sen 3 = 2-12 =AC-12 Como B = 450 e sen 450 – 2 e tg 450 – 1, vem: = 12 15,92 e, então, x- 3 — 0,577, então: = s e, daí, s = 0,577 8,67 8,67 Resposta: O comprimento da sombra é 8,67 m. 153 capítulo 23_p14sa155. indd 153 30/07/10 11 Exercícios 413. Calculeo valordexem cada item: c) 450 d) 123 18