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O presente trabalho também destaca as principais civilizações que utilizaram noções triangulares para resolução de roblemas matemáticos, que mais tarde culminariam na Trigonometria utilizada nos tempos atuais. Nosso objetivo é mostrar que através do desenvolvimento histórico da trigonometria, é possível relacionar os métodos hoje utilizados com as principais noções e dificuldades encontradas ao longo desta trajetória. Muitas dúvidas encontradas na matemática atual, já eram observadas pelos povos que trabalhavam estas noções.

Estudar tal desenvolvimento faz com que entendamos os principais conceitos trigonométricos e qual a importância para o desenvolvimento tecnológico da humanidade. História da Trigonometria 1 . Origem Devido às necessidades encontradas nos cálculos utilizados na astronomia, agrimensura e na navegação de egípcios e babilônios, por volta dos séculos IV e V a. C. surgiram desen Swipe to view next page desenvolvimentos trigonométricos.

Encontram-se também alguns indícios relacionados com este tipo de cálculo com os gregos, que relacionavam ângulos da circunferência com comprimento de suas cordas[l J. Embora não se saiba a origem exata da Trigonometria, deve ser citado que desde antes dos estudos de um homem chamado Hiparco de Nicéia, não havia nada parecido com razões trigonométricas, o que existiam eram “linhas rigonométricas”, usadas pelos gregos e mais tarde por hindus e muçulmanos. Tais “linhas” eram tomadas como cordas e mais tarde como meias cordas ou senos.

A estas foram associados valores numéricos e listados em tabelas, hoje denominadas trigonométricas. Apesar dos egípcios e babilônios já terem utilizado relações entre lados e ângulos dos triângulos para resolver diversos problemas, foi a admiração pelo movimento dos astros que impulsionou o desenvolvimento da Trigonometria. A palavra TRIGONOMETRIA vem do grego: TRI – três, GONO – ângulo e METRIEN – medida, ou seja, medida das partes de um triângulo. Tratando-se dos estudos das relações entre os lados e os ângulos de um triângulo. . Desenvolvimento A história da trigonometria tem milhares de anos e faz parte de muitas civilizações como citado anteriormente. Os antigos egípcios e babilônios conheciam teoremas sobre as razões dos lados de triângulos semelhantes por muitos anos. As sociedades pré-helênicas não possuíam o conceito de medida de ângulos, por isso eram estudados os lados do triângulo através de um estudo chamado de Trilaterometria [2]. Através da tábua cuneiforme Plimpton 322 (1900 PAGE20F 14 Através da tábua cuneiforme Plimpton 322 (1900 a. C. , afirma-se de Trilaterometria [2]. Através da tábua cuneiforme Plimpton 322 (1900 a. C. ), afirma-se que os babilônios antigos tinham uma tábua de secantes [3], embora não se tenha certeza se era uma tabela de trinas pitagóricas, soluções de equações quadráticas ou uma tábua trigonometria. 2. 1 . Egípcios e Babilônios [pic] Pode-se dizer então que o prenúncio do que hoje conhecemos como tangente e cotangente está relacionado a estas observações dos egípcios. Os primeiros vestígios de trigonometria surgiram não só no Egito, mas também na Babilônia.

Os babilônios tinham rande interesse pela Astronomia, por suas ligações com os conceitos religiosos e por suas conexões com calendário, as épocas de plantio e estações do ano. 2. 1 . 1 . Papiro Rhind Como vimos à trigonometria deu-se através de vários povos e principalmente devido aos problemas gerados pela Astronomia, Agrimensura e Navegações. 4 simples, equações lineares e trigonometria básica. Ainda que não se possa falar da existência de trigonometria (no sentido atual) no antigo Egito. Podemos dizer que existia uma trigonometria rudimentar que assentava numa simples teoria de triângulos semelhantes.

Se pensarmos nas enormes edificações construídas pelo povo egípcio,como nas grandes pirâmides, facilmente percebemos que não poderiam ter sido realizadas sem um conhecimento mínimo de relações trigonométricas. Todos estes problemas trazem questões sobre o seqt de uma pirâmide. sobre o seqt de uma pirâmide. Na construção das pirâmides era essencial manter uma inclinação constante das faces, o que levou os egípcios a introduzirem o conceito de seqt, que representava a razão entre afastamento horizontal elevação vertical. . 2. Gregos A Escola Pitagórica, fundada no século V a. C. foi responsável por descobertas na acústica, elaborando uma lei de intervalos musicais. Essa lei relacionava os diapasões de notas emitidas por cordas esticadas com a mesma tensão e comprimento igual. Podemos considerar essa lei como a possível responsável pelo surgimento das funções seno e cosseno. Os matemáticos gregos utilizaram representaram o seno por meio de um círculo e uma corda nesse círculo.

Uma bissetriz perpendicular da corda passa através do centro do círculo e corta o ângulo em dois. Metade da corda bisseccionada é o “seno do ângulo” bisseccionado, isto é, crd e = 2sin 9/2. Por isso a função seno também é conhecida como “meia corda”. Devido a essa relação, muitas das identidades trigonométricas e teoremas conhecidos hoje já eram conhecidos aos matemáticos gregos, mas em forma de corda. [pic] Vemos que os teoremas a respeito do comprimento de cordas são aplicações da lei dos senos.

O teorema sobre cordas rompidas de Arquimedes é equivalente às fórmulas para o seno de somas e diferenças de ângulos. Devido ? falta de tabelas de cordas, os matemáticos da época de Aristarco de Samos, às vezes, usavam um teorema, que hoje eria representado assim: sina/ sinp < a/P < tan a/ tan p sempre que 00 < p < a< 900. Têm-se dados de que a primeira tabela trigonomé Têm-se dados de que a primeira tabela trigonométr < tan a/ tan p sempre que 00 < p < a< 900. Têm-se dados de que a primeira tabela trigonométrica pode ter sido compilada por Hiparco.

Apesar de não se saber ao certo quando o uso sistemático do círculo de 3600 passou a fazer parte da matemática, sabe-se que sua introdução se deu depois de Aristarco ter escrito Sobre os Tamanhos e Distâncias do Sol e da Lua (260 a. C. ), pois ele mede o ângulo em termos da fração de um quadrante. Na astronomia antiga, o zodíaco havia sido dividido em doze “signos” ou 36 “decanos”. Um ciclo sazonal de quase 360 dias pode ter correspondido aos signos e decanos do zodíaco, dividindo cada signo em trinta partes e cada decano em dez partes. Menelau de Alexandria (100 a.

C. ) escreveu três livros que estabelecem bases para triângulos esféricos semelhantes às bases de Euclides para triângulos planos. Estabeleceu também um teorema em que dois triângulos esféricos são congruentes se os ângulos correspondentes são iguais; porém não estabeleceu nenhuma distinção entre triângulos sféricos simétricos e congruentes. Outro teorema diz que a soma dos ângulos de um triângulo esférico é maior do que 1800. Claudius Ptolomeu (90 – 1 68 a. C. ) expandiu as Cordas em um Círculo de Hiparco em a Sintaxe da Matemática.

São os treze livros mais influentes e significativos trabalhos sobre trigonometria de toda a antiguidade. Um de seus principais teoremas para o cálculo das cordas diz que a soma dos produtos dos lados opostos de um quadrilátero cíclico é igual ao produto das diagonais. Este teorema leva ao equivalente das quatro fórmulas de soma e diferença para senos cosseno PAGE 5 OF 14 diagonais. Este teorema leva ao equivalente das quatro fórmulas de soma e diferença para senos e cossenos, conhecidas como fórmulas de Ptolomeu, apesar de que ele, na verdade, usava cordas em vez de seno e cosseno.

Ele derivou o equivalente a formula da metade de um ângulo sin2 (x/2) = (1 -cos x)/2, usando os resultados para criar suas tabelas trigonométricas. Não é possível saber se as tabelas derivaram do trabalho de Hiparco. 2. 3. Hindus Há registros históricos de que houve desenvolvimentos da trigonometria na Índia. O matemático-astrônomo Aryabhata (476-550), primeiro definiu o seno como a relação entre a metade de um ângulo e a metade de uma corda e então, definiu o cosseno, verseno e o seno inverso.

Seus trabalhos contêm as tabelas de valores de seno e verseno[4] em intervalos de 3,750 de 00 até 900, com precisão de 4 casas decimais. Outros matemáticos hindus expandiram os trabalhos de Aryabhata sobre trigonometria. No século IV, Varahamihira utilizou as fórmulas: sin2x+ cos2x= 1 sin2 x = cos (TI/2 – x) [1 – cos (2x)] / 2 = sin2 x Posteriormente, no século VII, Bhaskara I criou uma fórmula para calcular o seno de um ângulo agudo sem o uso de abelas. Também forneceu uma fórmula de aproximação para sin x com uma margem de erro de menos de 1 ,9%: sin x ( [1 [5 TT2-4X(TT-X)], (O S XS TI/2).

Mais tarde, no século VII, Brahmagupta desenvolv la para computar valores de seno: 1 – sin2 x = cos2 x = sin2 (TI/2 – x). tabelas trigonome tabelas derivaram tricas . Não ê possivel saber se as de Hiparco. Mais tarde, no século VII, Brahmagupta desenvolveu uma fórmula para computar valores de seno: 1 – sin2 x = cos2 x 2. 4. Islâmicos O nome seno vem do latim sinus que significa seio, volta, curva, cavidade. Muitas pessoas acreditam que este nome se deve ao fato de o gráfico da função correspondente ser bastante sinuoso.

Mas, na verdade, sinus é a tradução latina da palavra árabe jaib, que significa dobra, bolso ou prega de uma vestimenta que não tem nada a ver com o conceito matemático de seno. Trata-se de uma tradução defeituosa que dura até hoje. Quando os autores europeus traduziram as palavras matemáticas árabes em latim, eles traduziram jaib na palavra sinus. Em particular, o uso de Fibonacci do termo sinus rectus arcus rapidamente encorajou o uso universal de seno. Os islâmicos chegaram a utilizar as seis funções trigonométricas, depois de descobrir as funções secante, cotangente e cossecante.

Abu al-Wafa tinha tabelas em intervalos de 0,250, com precisão de 8 casas decimais e tabelas bem precisas para valores de tangentes. Desenvolveu a seguinte fórmula trigonométrica: sin (2x) = 2 sin x. cos x No século X, Al-Battani foi responsável por estabelecer relações trigonométricas, como: tan a = (sin a)/(cos a) e sec a = (1 + tan2 a Muitos outros matemáticos árabes desenvolveram diversas fórmulas, teoremas e tabelas que foram utilizadas na rigonometria, contribuindo também para resolução de equações cúbicas.

Um método conhecido é o da triangulação, desenvolvido por muçulmanos, que foi aplicado na cartografia. 2. 5. Chineses A tábua de senos chines chinesa era uma versão traduzida da tábua de Aryabhata e o desenvolvimento da trigonometria não era tão apreciado como na Grécia ou Índia. A partir do ano de 960 d. C. os matemáticos começaram a expressar a trigonometria esférica com mais ênfase, devido à necessidade nos cálculos astronômicos e no calendário.

O polímata, cientista, matemático e ficial chinês Shen Kuo (1031-1095) usou funções trigonométricas para resolver problemas de cordas e arcos. Esse método era a “técnica de intersecção de círculos”, onde ele aproximava o arco de um círculo s, dado o diâmetro d, sagita v e comprimento da corda c subentendendo o arco, cujo comprimento ele aproximou como sendo s = c + 2v2/d. O trabalho de Shen forneceu a base para a trigonometria esférica desenvolvida no século XIII pelo matemático e astrônomo Guo Shoujing (1231-1316).

Este utilizou a trigonometria esférica em seus cálculos para melhorar o sistema de calendário e astronomia chinesa. Guo usou uma pirâmide quadrangular esférica, cujo quadrilátero da base consistia em um arco equatorial e outro elíptico, juntos com dois arcos meridianos, um dos quais passava pelo ponto do solstício de verão. Através desses métodos, ele foi capaz de obter os graus de equador correspondentes aos graus da eclíptica, os valores das cordas para dados arcos elípticos e a diferença entre cordas de arcos com diferença de 1 grau. . 6. Europa Renascentista Regiomantus talvez tenha sido o primeiro matemático europeu a tratar a trigonometria como disciplina matemática distinta. A Opus palatinum de triangulis de Georg Joachim Rheticus, um aluno de Copérnico, foi provavelment PAGE80F 14 A Opus palatinum de triangulis de Georg Joachim Rheticus, um aluno de Copérnico, foi provavelmente o primeiro a definir as funções trigonométricas diretamente em termos de triângulos retângulos ao invés de círculos, com tabelas para as seis funções trigonométricas. . Isaac Newton A contribuição de Newton para a trigonometria está associada aos seus cálculos infinitesimais, apoiados fortemente na geometria do movimento, assim deduzindo por reversão a série de seno e o cosseno de x, comunicando a Leibniz órmula geral para sen (nx) e cos (nx), com isso, abriu a perspectiva para o seno e o cosseno surgirem como números e não como grandezas. Os cálculos de Newton, como o início dos cálculos trigonométricos deram-se, devido as suas observações astronômicas.

A trigonometria moderna começou com o trabalho de matemáticos no ocidente a partir do século XV. A invenção dos logaritmos pelo escocês John Napier e do cálculo diferencial e integral por Isaac Newton auxiliaram os cálculos trigonométricos. No século XVIII, ele desenvolveu a fórmula da interpolação geral para as funções trigonométricas, e com o Cálculo[5] iferencial e integral também chamado de Cálculo inf xiliaram nos problemas trigonométricos.

Eestudante de cálculo deve ter um conhecimento em a matemática, como funções, geometria e na geometria do movimento, assim deduzindo por reversão a serie de seno e o cosseno de x, comunicando a Leibniz diferencial e integral também chamado de Cálculo infinitesimal, auxiliaram nos problemas trigonométricos. O estudante de cálculo deve ter um conhecimento em certas áreas da matemática, como funções, geometria e trigonometria, pois são as bases do cálculo. ? importante deixar claro que não são duas interpretações independentes como parece, mas são formas de interpretar que se complementam. . Trigonometria e Astronomia interpretar que se complementam. Como vimos, a trigonometria tem como objetivo o estudo das relações entre lados e ângulos de um triângulo, porém ela constitui um instrumento indispensável na resposta a necessidades da astronomia. É neste contexto que o astrônomo Hiparco de Nicéia ganhou o direito de ser chamado o “pai da Trigonometria” pois, na segunda metade do século II a. C. , fez um tratado em doze livros em que se ocupou da construção do que deve er sido a primeira tabela trigonométrica, incluindo uma tábua de cordas.