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Capítulo 4 Contagem, Probabilidade e Estatística 145 146 O problema dos discos Adaptado do artigo d Roberto Rlbeiro pate Temos aplicado o p orsg to view nut*ge s em classes de estudantes de Licenciatura em Matemática e temos acompanhado colegas professores que o tem aplicado no ensino médio e fundamental. O problema tem feito muito sucesso. O problema do jogo dos discos Uma escola estava preparando uma Feira de Ciências e foi pedido aos estudantes que bolassem um jogo que servisse para arrecadar fundos.

Os estudantes observaram que no salão da Feira o piso era feito com quadrados de 30 cm de lado, desses uadrados de Paviflex. Pensaram então em construir discos de papelão de um certo diâmetro d que seriam comprados pelos visitantes por R$ 1,00 cada um. O visitante jogaria o disco aleatoriamente no piso. Se o disco, depois de pousar para o jogador, ninguém iria querer jogar. Resolveram que uma probabilidade de 60% favorável à escola sena adequada.

Pergunta 1 Como determinar o valor de d que resulta em uma probabilidade de 40% favorável ao jogador e de 60% à escola? Pergunta 2 Qual será, em média, o ganho da escola se 500 discos forem vendidos na feira? Resposta da Pergunta 1 Sob condições ideais podemos supor que lançar o disco aleatoriamente no piso é o mesmo que lançar seu centro aleatoriamente. Assim, a probabilidade p de o jogador ganhar (no nosso caso 40%) é a mesma probabilidade de um ponto, lançado aleatoriamente dentro do quadrado de lado 30, cair dentro do quadrado de lado 30 -d.

Da definição de probabilidade geométrica temos Como queremos p = 40% = 0,4, obtemos No caso geral de um quadrado de lado e probabilidade p do jogado ganhar, uma solução análoga fornece portanto, 148 Apresentamos o gráfico de Observe que PAGF sg oportunidade de orientar um grupo de professores ue aplicaram o problema do jogo dos discos em suas escolas. Para resolver o problema por experimentação foram construídos discos de madeirit ou de borracha com diâmetros 4, 6, 8, IO, 12 e 14 cm.

Os professores observaram que devem ser feitos pelo menos 200 lançamentos para cada diâmetro e para facilitar a experiência foram feitos 10 discos de cada diâmetro. 149 d p 4 6 10 2 14 68, Os resultados obtidos em uma classe estão dispostos na tabela acima, sendo d o diâmetro dos discos, em cm, e p a probabilidade de o jogador ganhar. PAGF 3 OF sg constituídas por polígonos regulares de um único tipo e atisfazendo as condições: (a) quando d01S polígonos se intersectam, essa interseção é um lado ou um vértice comum; (b) a distribuição dos polígonos ao redor de cada vértice é sempre a mesma.

Os únicos mosaicos regulares do plano são os constitu[dos por triângulos equiláteros, quadrados ou hexágonos regulares (que se reduz aos triângulos). Vamos aplicar nosso jogo dos discos a esses tipos de pavimentação. O caso de mosaicos formados por quadrados já estudado acima. Suponhamos que o piso do jogo dos discos seja pavimentado com peças na forma de triângulos equiláteros de lado l.

Lembrando que o apótema do triângulo equilátero (raio da circunferência inscrita) vale discos podem ter diâmetro d tal que O < d < 2a, ou seja, No interior do triângulo equilátero de lado I dispomos um triângulo equilátero de lado t, com lados paralelos ao triângulo maior, de modo que a distância entre o lado do triângulo maior ao lado paralelo do triângulo menor seja 151 Podemos verificar que a r PAGF OF sg pavimentado com triângulos equiláteros.

Nota histórica sobre Buffon e o problema dos ladrilhos Georges Louis Leclerc, Conde de Buffon, nasceu em 7 de setembro e 1707, em Montbard, na França, e morreu em 16 de abril de 1788, em Paris. Nascido na aristocracia, estudou Medicina e Direito. Mostrou interesse pela Matemática, tendo descoberto sozinho a Fórmula do Blnômio e mantido correspondência com Cramer sobre Mecânica, Geometria, Probabilidade, Teoria dos Números e Cálculo Diferencial e Integral. Mas era a Natureza a sua paixão.

Dedicou-se principalmente à História Natural, tendo sido o maior responsável pelo crescimento do interesse pela História Natural na Europa, no século XVIII. No século WIII acreditava-se que Deus havia criado as espécies eparadamente, isto é, de modo independente umas das outras, e que a idade da Terra seria de no máximo 6 000 anos. Em sua História Natural, uma enciclopédia que continha todo o conhecimento da época sobre a natureza, Buffon apontava, 100 anos antes de Darwin, as semelhanças entre homens e macacos e até mesmo sugeria a existência de 152 um ancestral comum.

Em As ocas da Natureza (1788), sugeria que a PAGF s OF sg na qual Buffon discute o jogo do ladrilho e apresenta o Problema da Agulha . Foi o primeiro escrito sobre o que hoje se conhece por probabilldade Geométrica. O jogo do ladrilho Era bastante jogado pelas crianças francesas no século XVIII. Uma pequena moeda de raio Ré lançada ao acaso em um chão coberto por ladrilhos quadrados de lado I (l > 2r). As crianças apostavam que moeda cairia inteiramente dentro de um ladrilho ou que a moeda caina atravessando o lado de algum ladrilho.

Buffon notou que a probabilidade de a moeda cair inteiramente dentro de um ladrilho era a probabilidade de o centro da moeda cair dentro de um quadrado de lado —2r. Essa probabilidade é a razão entre as áreas do quadrado e do ladrilho, pois a probabilidade de o centro da moeda cair em uma região é roporcional à área dessa região. Portanto, a probabilidade de a moeda cair inteiramente dentro de um ladrilho é 153 Intuição e probabilidade Adaptado do artigo de Raul F. W.

Agostino De tudo que ensinamos aos nossos alunos, os assuntos que desperta PAGF 6 OF sg percentual de pessoas realmente portadoras do vírus, dentre aquelas que o teste classificou como portadoras? Vejamos uma solução que pode ser dada sem citar teoremas de Probabilidade ou Estatística. Considere que o teste foi aplicado aos habitantes do país. O número de testes que indicou a presença do vírus foi: 24 os que realmente são portadores 1 54 14243 20% dos não portadores = o, 09 Destas, são portadoras 0,091.

Assim, são realmente portadoras do vírus 0,091/0,271 1 / 3 z 33,3% das pessoas que o teste classificou como portadoras. Esse número é no mínimo curioso e mostra que uma pessoa que fez o teste e foi classificada como ortadora tem grande possibilidade de ser PAGF 7 sg probabilidade condicional ou mesmo desenvolver tópicos em Estatística; no entanto, a grande qualidade desse problema é apresentar uma situação de real interesse dos nossos alunos, com uma abordagem bastante intuitiva.

Nota Esperamos que nenhum leitor use este artigo como justificativa para não se submeter a testes e exames clínicos solicitados por seu médico. O que o exemplo permite concluir é que, como todo teste está sujeito a e TOS , dificilmente se justifica a sua aplicação indiscriminada a toda uma população. É importante observar, no entanto, que, quando o médico pede exames, ele tem razões para suspeitar que exista algo errado com o paciente e, portanto, a probabilidade condicional de que ele esteja doente é, em geral, bem maior do que a incidência da doença na população toda. 55 Média e média das médias Adilson Simonis Cláud10 possani O s Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) preconizam que se aborde, desde o ensino fundamental, noções básicas de Estatística. Pretende-se que o estudante Seia confrontad es concretas de Existem várias noções de média aritmética, geométrica, harmônica, simétrica, etc. Vamos nos ocupar, neste artigo, da média aritmética, que passamos a denominar apenas médla.

Dados os números ( não necessariamente distintos), a média desses valores é definida como sendo Uma dúvida muito freqüente acerca das médias é a eguinte: se temos duas seqüências de números Al e A2 c om médias pl e p2 , respectivamente, e 156 queremos obter a média da união dessas seqüências, é correto fazer (pl V2)/2 ou devemos somar todos os números e dividir pelo numero total de valores? Esses dois procedimentos levam ao mesmo resultado? Vejamos através de um exemplo que os resultados podem ser diferentes.

Suponha que um professor peça a cada um de seus alunos que calcule a idade média de sua própria família, e imaginemos a seguinte situação: Aluno A pai: 40 anos Mãe: 37 anos A: 13 anos Aluno B Pai: 39 anos Mãe: 40 anos B: 12 anos Irmão: 10 anos Irmã: 9 anos interessados em saber se as famílias de uma cidade ou do Brasil são famílias jovens ou não, esse é o tipo de valor que devemos calcular. Por outro lado, se calculamos a soma total dividida pelo número total de pessoas (p3), obtemos a idade média do total de pessoas (e não de fam[lias). ? o que fazemos para obter a idade média da população de uma cidade ou pais. Um outro exemplo no qual os dois procedimentos apresentam resultados diferentes é: 157 sequência 1 de dados: 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10. 10. Seqüência 2 de dados: 5, 5. p2 5. (VI + V2)/2 = (10 = e = 9. Ao calcular 7,5, os dois valores, 10 e 5, aparecem com o mesmo peso, enquanto o cálculo de V13 reflete o fato de o valor 10 aparecer mais vezes na primeira sequência do que o valor 5 aparece na segunda. ? fácil ver que, se duas seqüências numéricas, Al e A2, têm o mesmo número de elementos, então os dois procedimentos descritos anteriormente fornecem valores iguais. De fato, sejam Al= {xl , xn) e Então Vamos mostrar agora como se procede para avaliar a média quando não são conhecidos todos os elementos da seqüência numérica. Em um determinado conjunto ou se üência de valores numéricos, dois