Resumo

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Conceito de matrizes Definição de Matriz Uma matriz real ou complexa é uma função que cada par ordenado (i,j) no conjunto Smn associa um número real ou complexo. Uma forma pratica para representar uma matriz definida na forma acima é através de uma tabela contendo números reais ou complexos.

Identificaremos a matriz abaixo como a letra A: [pic] Definições básicas so Ordem: se a ma a ordem da matriz é or6 to view nut*ge olunas, dizemos que Posição de um elemento: na tabela acima a posição de cada elemento aij= a(i,j) é indicada pelo par ordenado (i. j); Notação para matriz:indicamos uma matriz A pelos seus lementos, na forma: Diagonal principal: a diagonal principal da matriz é indicada pelos elementos da forma onde i=j; Matriz quadrada: é a matriz que tem o número de linhas igual ao número de colunas, i. . , n=n; Diagonal secundária de uma matriz quadrada: ela é em ordem de n e é indicada pelos n elementos: os elementos iguais a zero; Matriz identidade: ela é denotada por Id, tem os elementos da diagonal pnncipal iguals a 1 e zero fora da diagonal principal; Exemplos de matrizes: Matriz 4×4 de números reais: 112 7 118 1-23 1-24 IO IO 0 19 Matriz 4×4 de números complexos: 112 1-6+i 17

I • 1-24 IO Matriz nula com duas linhas e duas colunas: IO 0 Matriz nula com três linhas e duas colunas: Matriz identidade com três colunas: prática, onde devemos seguir os traços da diagonal, e multiplicar os elementos entre si, fazendo a associação dos sinais indicados: Exemplo: Matriz de ordem 3 Considere: [PiC] O detA de uma matriz de ordem 3 pode ser calculado utilizando uma regra prática chamada Regra de Sarrus, onde repetem-se, à direita da matriz, as duas primeiras colunas. Acompanhando as flechas em diagonal, multiplicam-se os elementos entre si, associando-lhes o sinal indicado.

O primeiro passo é repetir as duas primeiras colunas ao lado da terceira coluna: Agora para obter os produtos multiplicamos os elementos entre si: PAGF3rl(F6 matrizes quadradas de mesma ordem, temos: Det A . det B Existem duas formas para calcular o determinante do produto de duas matrizes quadradas Ae B de mesma ordem: a) obter o produto de A. B das duas matrizes e calcular o determinante dessa matriz; b) calcular os determinantes de A e de g separados e multiplicar os dois valores obtidos; A=25 3 A.

B= 6+10 3+6 6+25 3+1 5 B=33 2 16 31 9 18 16. 18-9*31 288-279=9 det A = 1 e det B = 9 Pelo teorema de Binet -det (AB) 9 Determinante de Vandermonde Zeros em um dos lados da diagonal secundária Em uma matriz quadrada de ordem n, todos os elementos dispostos na mesma face da dlagonal secundária são nulos, neste caso, o seu determinante será igual ao produto dos elementos dessa diagonal, multiplicado por: [picl Exemplos: A diagonal principal de uma matriz é aquela que junta o canto superior esquerdo com o canto inferior direito.

E a diagonal secundária de uma matriz é aquela que junta o canto superior direito como a canto inferior e esquerdo. Propriedade dos Determinantes Determinante igual a zero O determinante de uma matriz quadrada é igual a zero, se a atriz possui: Observe que C3 = 3C1 + 2C2, isto é, C3é C. L. de Cl e C2 Teorema de Jacobi Esse teorema diminui valores dos elementos de uma matriz quadrada, facilitando os cálculos.

Atende-se ao simples d ar os elementos aos determinadas situações em eu se tem uma matriz com uma linha que possui elementos com valores muito altos, pode-se utilizar o teorema de Jacobi. Alteração de Determinantes O determinante de uma matriz quadrada de ordem n altera- Se a matriz é nxn, então: Portanto: det (K . A) = kn. det A Regra de Chio Através dessa regra é possível abaixar em uma unidade a rdem de uma matriz quadrada A sem alterar o valor do seu determinante.

A regra prática de Chio consiste em : Escolher um elemento aij=l (caso não exista, aplicar as propriedades para que apareça o elemento 1); Suprimir a linha (i) e a coluna (j) do elemento aij-l, obtendo- se o menor complementar do referido elemento; Subtrair de cada elemento do menor complementar obtido o produto dos elementos que ficam nos pés das perpendiculares traçadas do elemento considerando as filas suprimidas; Multiplicar o determinante obtido no 30 item por (-1)i+j onde i e j designam as ordens da linha e da coluna as quais pertence o elemento Aij—l ;

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