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ATPS – MATEMÁ ICA Etapa – OI Tema — Função do | 0 grau Situação problema 1: O valor da conta de água é dado por uma tarifa fixa, mais uma parte que varia de acordo com o volume utilizado em metros cúbicos, caso exceda o volume considerado na tarifa fixa. O valor da tarifa fixa é de R$ 13,00 e a cada metro cúbico acrescenta R$ 1,90 no valor da conta. passo 1 – Faça a leitura do capítulo 1 – seção 1 através da situação p Escreva a equação p residência em função cúbicos e interprete Resolução: OFII Swipe view p . do PLT e demonstre função linear. , em reais, de uma utilizada, em metros Definição da função do 10 grau: Chama-se função do 10 grau a função F:IR— IR definida por Y: mx+b, com a e b números reais e a * O. “m” é o coeficiente angular da reta e determina sua inclinação, é definida também como a taxa de variação da função. “b” é o coeficiente linear da reta e determina a intersecção da reta com o eixo Y, ou seja, é o valor da função quando X= O.

Esse tipo de função apresenta um grande número de aplicações em nosso dia a dia. Mesmo problemas muito complexos podem ser representados em primeira aproximação por esse tipo de função. Dai seu uso frequente em economia, estão de recursos humanos, descrições de mercado e etc. Inserindo o contexto da definição da função do | 0 grau na Coeficiente linear = b – 13 = R$13,00 = valor quando o X- O; Valor da conta de água = F(X); Função = F(X) = + 13.

Utilizando o caso real de um dos integrantes do grupo no mês de Setembro/2010, onde o consumo foi de 10m3, aplicando esse consumo na função descrita na situação problema 1 teremos: 10+ 13 F(10) = 32 Valor da conta de água = R$ 32,00 Passo 2 – Demonstre que o coeficiente angular de uma função linear y=f(t) pode ser calculado a partir de valores da função em dois ontos, descrita no passo 1.

Para encontrar o coeficiente angular de uma função linear F(T), usaremos exemplos de consumos de água em mg de dois integrantes do grupo: Consumidor IVaIor R$ Michel 132,00 Marcelo 149,10 I Mês Setembor/2010 setemb0M2010 I Consumo 10 Graficamente seria representado dessa forma: inicial = IO mg representa o valor do consumo final Substituindo os valores na fórmula: m 49,10 – 32 1,90 19-10 = 19 mg Então podemos afirmar que o valor do coeficiente angular dessa função é 1,90 podemos afirmar ainda que a taxa de variação do valor da conta é de R$ 1,90 Passo 3 Utilizando o software Microsoft@ Excel, construa o gráfico da função referente a situação-problema 1 e identifique se a função é crescente ou decrescente. Gráfico da função para valores de X de O a 20 rn3. ( Como podemos observa = l,gx+ 13 é uma funçao 28,2 9 11 12 13 114 15 16 17 20 R$ 28,20 H 15) F(20) = 130,1 32 133,9 35,8 37,7 39,6 41,5 43,4 45,3 47,2 49,1 151 IRS 30,10 I R$ 32,00 R$ 33,90 R$ 35,80 R$ 37,70 R$ 39,60 R$ 41 R$ 43,40 R$ 45,30 R$ 47,20 R$ 49,10 51,00 Para uma idéia exata dos valores de F(X) em função do consumo de água, segue ao lado uma tabela para comparação de valores.

Tema — Função Exponencial Situaçáo-problema 2: Se a temperatura do planeta continuar subindo no ritmo atual e os parses não tomarem medidas com a mesma velocidade para auxiliar o problema do aquecimento global, poderão ocorrer várias epidemias por microorganismos. Os modelos matemáticos têm mostrado como as alteraçóes climáticas podem aumentar a distribuição de doenças transmitidas por microorganismos. O número da população de microorgani 40F de doenças transmitidas por microorganismos. O número da população de microorganismos pode ser representado atematicamente por uma equação exponencial. Considere a seguinte situação fictícia: em uma cultura de microorganismos, existem inicialmente 2. 00 microorganismos presentes e estimativas mostram que, aumentando em 1 OC a temperatura em relação a temperatura anterior, o número de microorganismos passa a ser três vezes maior. – Faça a leitura do capítulo 1 – seção 1. 2 do PLT e elabore um texto explicando a utilização da função exponencial. Antes de falarmos da Função exponencial, vamos explorar um pouco mais sobre funções escrevendo sobre sua história e outras curiosidades: História da Função: Como um termo matemático, “função” foi introduzido por Leibniz em 1694, para descrever quantidades relacionadas a uma cuma; tais como a inclinação da curva ou um ponto especifico da dita curva. A palavra função foi posteriormente usada por Euler em meados do século XVIII para descrever uma expressão envolvendo vários argumentos; i. e:y = F(x).

Ampliando a definição de funções, os matemáticos foram capazes de estudar “estranhos” objetos matemáticos tais como funções que não são diferenciáveis em qualquer de seus pontos. Tais funções, inicialmente tidas como uramente imaginárias e chamadas genericamente de “monstros”, foram já no final do século XX, identificadas como importantes para a construção de modelos físicos de fenômenos tais como o movimento Browniano. Durante o Século XIX. os matemáticos começaram a formalizar todos os diferentes ramos da matemática. Weiers Século XIX, os matemáticos começaram a formalizar todos os diferentes ramos da matemática. Weierstrass defendia que se construisse o cálculo infinitesimal sobre a Aritmética ao invés de sobre a Geometria, o que favorecia a definição de Euler em elação à de Leibniz.

Mais para o final do século, os matemáticos começaram a tentar formalizar toda a Matemática usando Teoria dos conjuntos, e eles conseguiram obter definições de todos os objetos matemáticos em termos do conceito de conjunto. Foi Dirichlet quem criou a definição “formal” de função moderna. Função Exponencial Conta à lenda que um rei solicitou aos seus súditos que lhe inventassem um novo jogo, a fim de diminuir o seu tédio. O melhor jogo teria direito a realizar qualquer desejo. Um dos seus súditos inventou, então, o jogo de xadrez. O Rei ficou maravilhado om o jogo e viu-se obrigado a cumprir a sua promessa. Chamou, então, o inventor do jogo e disse que ele poderia pedir o que desejasse.

O astuto inventor pediu então que as 64 casas do tabuleiro do jogo de xadrez fossem preenchidas com moedas de ouro, seguindo a seguinte condição: na primeira casa seria colocada uma moeda e em cada casa seguinte seria colocado o dobro de moedas que havia na casa anterior. O Rei considerou o pedido fácil de ser atendido e ordenou que providenciassem o pagamento. Tal foi sua surpresa quando os tesoureiros do reino lhe apresentaram a suposta conta, pois apenas na última casa o otal de moedas era de 263, o que corresponde a aproximadamente 9 223 300 000 000 000 000 = 9,2233. 1018. Nao se pode esquecer ainda que o valor entregue ao invent 223 300 000 000 000 000 = 9,2233. 1018. Não se pode esquecer ainda que o valor entregue ao inventor seria a soma de todas as moedas contidas em todas as casas. O rei estava falido!

A lenda nos apresenta uma aplicação de funções exponenciais, especialmente da função y = 1 Definição de Função Exponencial Toda relação de dependência, onde uma incógnita depende do valor da outra, é denominada função. A função denominada omo exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente. Dizemos que P é uma função exponencial de “t ” com base ” a” , onde P= PO * at, (a > O) em que “PO” é o valor inicial (quando ” t O) e ” a” é o fator segundo o qual ” P” muda quando ” t ” aumenta em uma unidade. Se (0 a 1), então a função P é de decaimento exponencial e (a > 1), então P é crescimento exponencial.

Note que o fator multiplicativo ” a ” está diretamente ligado a taxa percentual ” i ( Crescimento exponenciala ( Decaimento exponencial – 1 + (i/100) a 1-(i/100) Graficamente podemos definir o crescimento e o decaimento exponencial: de qualquer espécie de uma população em um determinado meio resulta em uma equação exponencial, incluindo crescimento de bactérias e células, que dobram a cada reprodução; podemos dizer também que se colocarmos uma régua para medir o casco de um caracol do centro até a borda, veremos que seus anéis possuem um raio que irá crescer exponencialmente; o som que escutamos também segue escala exponencial em decibéis; as frequências de cores que nosso olho enxerga também segue esta scala; a morte de uma população, por fome, vírus ou qualquer coisa – outra escala exponencial. Na Eletrônica: É utilizado para cálculos de diodos, cálculo de potências, dentre inúmeros componentes eletrônicos também seguem essa escala. Na economia: Rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos.

Na Informática: Cálculo de Bytes e MegaBytes seguem uma escala exponencial, pois os números digitais são binários e seguem a escala de potência de 2, ex. O, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, Na Matemática: curvas de senos, cossenos e tangentes são curvas exponenciais; área em metros quadrados é outra xponencial. Na Química: no decaimento radioativo de substâncias quimicas. Na Física: É usada, por 80F encontrar a aceleração Considere a situação-problema 2 e obtenha a equação exponencial que relaciona o número de microorganismos em função da temperatura. QO * at, onde: Q(t) = Quantidade de microorganismo em função do aumento da temperatura. QO = 2. 000 microorganismos a = 3 vezes maior em relação a temperatura anterior t = aumento da temperatura em oc Q(t) 2. 00 * 3 t função referente à cultura de microorganismos e identifique se há crescimento ou decaimento exponencial. Bário 140 Chumbo 210 Estrôncio go Carbono 14 Plutônio Urânio 238 13 dias 122 anos 25 anos 5. 730 anos 23. 103 anos 4. 500. 000. 000 anos Se tomarmos como exemplo um osso que quando fazia parte de um organismo vivo, acumulava 100% de átomos de carbono-14, esse organismo morre no ano de 2010 e deixa de acumular essa substância, passados 5730 anos, ou seja, no ano de 7740 esse osso terá 50% de átomos de carbono-14 e no ano de 13470 terá 25% de átomos de carbono-14 e assim por diante. Só após 50 mil anos esta quantidade começa a ser pequena demais para uma datação precisa. 0 DF 11