Flambagem
Univesidade Santa Cecília Engenharia Mecânica Resistência dos Materiais II Flambagem por Compressão Conceito de estabilidade do equilíbrio. De forma bastante comum ocorre confusão entre o que são equilíbrio e estabilidade. Uma estrutura pode ser instável estando em equilíbrio. Tome, por exemplo, um lápis apontado e tente coloca-lo apoiado em um plano horizontal apoiado pela ponta. Nesta situação, embora ele esteja em equilíbrio, este é muito instável. Quando se apóia o lápis pela base, o equilíbrio é estável.
Isto pode ser observado na figura 1 org Sv. içxto iew nut*ge A situação a represe força Q na esfera, q pela linha horizontal, te. Nela, ao se aplicar representado ção de equilíbrio, semelhante a esta em outro ponto qualquer do plano. Na situação b, o equilíbrio é instável. A força Q promove um deslocamento na esfera que rola sobre a superfície não existindo mais a possibilidade de retorno a esta posição de equilíbrio. Uma estrutura com este tipo de equilbrio não suporta perturbações de nenhuma natureza. Na situação c, o equilíbrio é estável.
A força Q promove um deslocamento na esfera que rola sobre a superfície oscilando em torno da posição de equilíbrio inicial. Carga crítica de barras comprimidas. Seja uma barra prismática comprimida, em equilíbrio, como a mostrada na f Swlpe to vlew next page figura 3. Figura 1 – Equilbrio estável e instável Em geral, o equilíbrio de uma estrutura pode ser classificado como: estável; instável ou indiferente. Um modo bastante simples de observar este fato é analisar as três situações de equilíbrio apresentadas na figura 2.
Q QQ Figura 3 – Barra comprimida em equilíbrio b Quando a força tem valores pequenos, a barra permanece reta e o equilíbrio é estável. Quando ocorre um determinado aumento o valor desta força, podem aparecer flechas nas seções da barra levando a barra para um novo equilíbrio estável, como representa a figura 4. Figura 2 – Situações de equilíbrio Prof. José Carlos Morilla p PAGFarl(Fq que é chamado de Valor Crítico. Nessa situação a carga é chamada de Carga Critica e indicada por Pcrit. Quando a carga está no valor critico o equilíbrio torna-se instável.
Nos dimensionamentos das estruturas é importante que este valor crítico não seja alcançado. Com isto, se garante, além da integridade, a estabilidade da estrutura. Determinação da Carga Crítica. Na figura 4, se observa a ocorrência de flechas nas seções da barra. Torna-se possível, então escrever a equação da linha elástica para a barra. d2 v M (1) EXI dx 2 Para uma seção qualquer, com distância igual a x, a partir do apoio A o momento fletor vale M Pxv que, substituído na expressão 1, resulta: d2 v -— EXI dx d2 v P xv + —O (2) EXI dx Prof.
José Carlos Morilla Com este resultado expressão 3 se resume a: Com x = I , tem-se: Note-se, aqui, que para satisfazer a equação, independentemente do valor de C2, a função seno deve ser igual a zero. Esta função é ula quando o ângulo for igual a r1T[, ou seja: p xl = nu (6) EXI onde: 2 PAGF3rl(Fq que tem a forma da figura 4 para uma que tem a forma da figura 6. p x 12 = n 2Tt2 EXI (7) 12 Figura 6- Barra flambada com Pcrit para n=2 Note-se que n é um número inteiro, positivo, qualquer entre 1 e .
Para cada valor de n existe um valor de P que muda o estado de equilíbrio. Cada um destes valores é indicado por Pcrit.. Desta forma com: Para as estruturas, em geral, se interessa descobrir a carga crítica para . No presente capítulo far-se-á está consideração. Um fato importante de ser lembrado é que a solução da expressão foi encontrada através das condições de apoio da barra. Isto significa que para barras apoiadas de forma diferente, a solução será diferente. Mais à frente este fato será abordado . critl – mx E x I (8) 12 pcrit 2 = (9) 12 Equação de Eüler Toma-se, inicialmente a expressão 8 que é a carga crítica para a flambagem de uma barra prismática simplesmente apoiada em suas extremidades. Lembr a vez, que a carga critica das 3 Importante se torna observar que estas cargas crlticas são as cargas que mudam o estado de equilíbrio. Assim, a carga crítica encontrada para muda o estado de equilíbrio de uma barra eta para uma barra que tem a forma da figura 5. Nesta situação se diz que ocorreu a flambagem da barra por compressão.
Figura 5 – Barra flambada com Pcrit para n-l prof. José Carlos Morilla seções transversais prismática é: da barra Podemos escrever expressão então como: mx Eon-12 i2 esta P o = crit A (10) da seção onde A é a área transversal da barra. comprimento é grande perante sua seção transversal. Assim, a expressão 15 fica: ofi Sabendo-se que o raio de giração de uma figura (i) é igual a: Esta expressão é conhecida como Equação de Euler. OBS:I . A ensão de flambagem e um valor de tensão que, se atingido, muda o estado de equilíbrio da barra, isto é; a barra flamba. . Para que em uma barra não ocorra a flambagem, o valor de tensão desenvolvida pela força de compressão atuante, deve ser menor que 4 IA a expressão 12 fica: O fl Ex i2 (14) 12 Observe-se que na expressão 14 1 é o comprimento da barra e i é uma propriedade de sua seção transversal. o da tensão de flambagem. Isto é: p fl (18) A 1<72 PAGFsrl(Fq I À-kx (20) i Figura 7 - Coeficientes k para diferentes formas de apoio. Flambagem Elástica e Flambagem nelástica. A expressão 17 mostra que a tensão de flambagem é função do índice de esbeltez da barra.
Com ela, é possível traçar o gráfico da figura 8. 1400,0 1200,0 1000,0 800,0 600,0 400,0 200,0 0 50 100 150 200 250 ofi (Mpa) onde k é um coeficiente que depende da forma de apoio da barra. 6. Os valores de k para diferentes formas de apoio são as mostradas na figura 7. Figura 8 – Gráfico da tensão de flambagem em função do índice de esbeltez para E=200GPa. Pela figura 8 é possível observar que barras com esbeltez muito pequena necessitam de uma tensão muito grande para que corra a flambagem.
Deve-se levar em conta também que, as expressões até aqui obtidas possuem como remissa a validade da lei de Hooke. Esta lei tem validade desd o não ultrapasse a tensão PAGFarlFq flambagem elástica segue a equação de Eüler, já a flambagem inelástica segue outro padrão de comportamento. O padrão de comportamento da flambagem inelástica é muito dependente do material e os resultados possuem uma grande dispersão. Algumas equações de aproximação são usadas para traduzir este comportamento. Uma das importantes aproximações foi feita por
Tetmajer que aproxima o comportamento à função: op Validade da equação de Euler Nim Figura g – Gráfico da tensão de flambagem em função do índice de esbeltez mostrando a validade da Equação de Eüler. Na figura 9 está indicado o valor para À onde a tensão necessária para a flambagem é op. A este valor, se dá o nome de índice de esbeltez limite e se indica por Alim. A primeira vista, se pode imaginar que barras com esbeltez menor que o limite não apresentam o fenômeno da flambagem. Isto não é verdade, estas barras também podem apresentar flambagem. ara barras com ?ndice de esbeltez muito pequeno, a falha por compressão pode ocorrer antes da mudança de estado de equilíbrio. As equações que traduzem estes efeitos não podem estar baseadas na Lei de Hooke, já que a tensão desenvolvida é maior que a tensão limite de proporcionalidade. ofi = a-bÀ4CÀ2(21) onde a; b e c são constantes que dependem do material da barra. A tabela 1 mostra os valores das constantes para alguns materiais. Tabela 1 – Constantes a; b ns materiai PAGF8Ü(Fq constantes para alguns materiais. Tabela 1 – Constantes a; be c para alguns materiais para tensões em MPa.
Material Aço st 37 Aço st 50 Ferro Fundido Madeira Aço ao Níquel Alumínio 6 IOS 89 80 100 86 66 coo 303 1,16 329 0,63 764 12,2 0,05 287 0,20 461 2,34 139 0,89 0 oo Univesidade Santa Cecilla Engenharla Mecânica Resistência dos Outra aproximação importante foi feita por Telêmaco V. Langendonck, que propõe o comportamento como sendo uma parábola com vértice na tensão limite de escoamento (oe). A figura g representa este comportamento. o oe op Aproximação por uma parábola Validade da equação de Eüler Figura g – Gráfico mostran PAGFgncFq da Equação de Euler e a