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Alisson De A. Ferreira Delimiro Daladier S. Neto Marlon de A. Rocha Pedro Henrique A. Sobral Rafael Ottoni Lógicas Não-Clássicas Juazeiro – BA 2011 Delimiro Daladier S. pedro Henrique A. S 1 or12 al to view nut*ge U NIVERSIDADE F EDERAL DO VALE DO SAO F RANCISCO C URSO DE G RADUAÇÃO EM E NGENHARIA DE C OMPUTAÇÃO 201 1 Sumário 1 Introdução 2 Lógicas Complementares há como formalizar (Al) e (A2) diretamente na lógica clássica, de modo a preservar essa intuições.

As lóglcas não-clásslcas são comumente divididas em dois grupos: Lógicas Complementares: aquelas cujo objetivo é estender a ógica clássica (por exemplo, como na lógica do tempo, acrescentando novos operadores ? linguagem); Lógicas Alternativas: aquelas cujo objetivo é substituir a lógica clássica. As lógicas complementares, ou lógicas ampliadas, consideram que a lógica clássica está correta dentro dos seus limites, — mas que muitas coisas foram deixadas de fora, coisas que seria preciso considerar também. Portanto, é preciso estender a lógica clássica, acrescentar-lhe o que ficou faltando.

Usualmente, essas extensões são feitas por uma ampliação da linguagem, acrescentando-se novos operadores que não são funções de erdade, os chamados operadores intencionais. 4 As lógicas alternativas, partem do princípio de que a lógica clássica está errada e precisa ser substituída. Entre as lógicas alternativas mais conhecidas, temos as lógicas polivalentes, a lógica intuicionista, as lógicas relevantes, paraconsistentes, livres. 2 Lógicas Complementares 12 alética” (Aletéia – Eta – significa verdade em grego), ou seja, diz respeito ao modo como a proposição é verdadeira, (GORSKY, 2008).

A lógica modal é a mais antiga das lógicas não-clássicas. Já Aristóteles e seu sucessor Teofrasto haviam se ocupado de conceitos modais, mas só em 918 por meio dos trabalhos de C. l. Lewis sobre a lógica modal proposicional que surgiram os primeiros sistemas de lógica modal. Segundo Mortan (2001), a motivação original de Lewis, contudo, não era de investigar noções de necessidade ou possibilidade por SI mesmas; ele estava interessado em encontrar um implicação mais rigorosa que a implicação material da lógica clássica.

A implicação material tem alguns problemas que são conhecidos como “paradoxos da implicação”. Note que as seguintes fórmulas são válidas na lógica clássica: O problema está em ler o operador com implicação. A primeira das fórmulas acima diz que uma proposição verdadeira é implicada por qualquer proposição; a segunda, que uma proposição falsa implica qualquer proposição; e a terceira, que, dadas duas proposições quaisquer, primeira implica a segunda, ou a segunda implica a primeira.

Tudo isso, claro, vai contra nossas intuições a respeito do que deve ser implicação. Segundo Costa (2004), os os paradoxos da implicação material vistos acima, podem ser 6 contornados quando se p PAGF 12 roposiçào a individualmente, devendo se lida “como um todo”, sem que se estabeleça um vinculo entre elas. Em seu livro Survey of Symbolic Logic, de 1918, C. l. Lewis introduziu um outro tipo de implicação dita “implicação estrita”, representada aqui por ” intuitivamente, a p significa que é impossível que a seja verdadeira e p seja falsa. odo, expressa-se, contrariamente ao caso da implicação material, uma relação entre ae . Feita assm as colsas, Lews percebeu que precisava desenvolver uma teoria lógica de modalidades para fundamentar seu conceito de implicação, o que ele fez apresentando vários sistemas. A partir daí, surgiram as lógicas modais aléticas, que consistem, basicamente, na adição ? linguagem da lógica clássica dos operadores unários • , cujos significados são: a: é necessário que a / necessariamente a ; 0a : é possível que a / possivelmente a.

Com esse novos operadores podemos, então, formalizar sentenças que nao seriam possíveis com a lógica clássica como estudamos, tais como: • É possível que chova e é possível que faça frio. • Necessariamente, se neva, então faz frio. Usando C para ‘chove’, N para ‘neva’ e F para ‘faz frio’, temos: 2. 1. 1 Modelos de mundos possíveis Mas, como fica a semântica dos novos operadores que introduzimos? Na verdade, não é em geral, poss[vel calcular o v afinal, a deveria significar que a é necessariamente verdadeira. Por outro lado, se a é verdadeira 7 a .

A proposição a pode ser não podemos concluir nada a respeito do valor de verdade de contingentemente verdadeira (como “Napoleão foi derrotado em Waterloo”), ou então necessária (como, 2 + 2 = 4). Mas, obviamente, não sabemos dizer isso apenas a partir do valor de De modo similar, se a é verdadeira, então, obviamente, a é possível: logo é verdadeira. Contudo, novamente se a é falsa não podemos concluir: mesmo sendo falsa, a poderia ser ossivel. Ou talvez não. A intuição que está por trás da semântica para as lógicas modais envolve a noção de mundo possível. ? de Leibniz que vem a intuição a seguir sobre o significado de necessário e posslVel: a é verdadeira se a é verdadeira em todos os mundos poss[veis; a é verdadeira se a é verdadeira em algum mundo possível. Assim, enquanto, na lógica proposicional clássica, uma interpretação consiste em uma atribuição de valores {V, F } às letras sentenciais, em lógica modal, uma interpretação consiste em um conjunto de mundos possíveis e para cada um deles uma tribuição de valores às fórmulas. em vez de interpretação, poré ais comumente de um PAGF 19 WI W2 e W3 .

As proposições podem ter valores diferentes em cada um desses mundos. Por exemplo, A é verdadeira em WI , mas falas em W2 . Note que, em qualquer mundo, já que A é falsa em ao menos um mundo. Já A falsa B recebe T , uma vez que B é verdadeira em todos os mundos. Finalmente, OA é verdadeira, já que, ainda que A seja falsa em W3 , há um mundo posslVel onde A seja verdadeira. 8 2. 2 Lógica Temporal O quantificador universal da lógica de primeira ordem são válidas ara todos os elementos do domínio sem nenhuma exceção. Certas situações (ambiguidade, casualidade, senso comum . pedem que o conhecimento seja de certo modo completo, o que não acontece com a lógica de primeira ordem. As apressdes válidas estão sujeitas ? exceções, (MORTARI, 2001). Frente ao problema de limitação da lógica clássica, representa apenas verdades absolutas a lógica modal temporal, ou lóglca temporal, foi desenvolvida pelo inglês Arthur Prior nos anos 50. Ela é considerada uma espécie de lógica modal, pois consiste na adição de operadores ? lógica clássica. Os operad mente utilizados são: x. Uma fórmula é verdadeira em lógica temporal se apresenta o valor verdade T em todos os instantes de tempo.

As condições de verdade são: • Ga é verdadeira em um instante t sse a é verdadeira em todos os instantes posteriores a • H a é verdadeira em um instante t sse a é verdadeira em todos os instantes anteriores at • Fa é verdadeira em um instante t sse a é verdadeira em todos • Pa é verdadeira em um instante t sse a é verdadeira em algum instante anterior a t Os vários axiomas da lógica temporal servem para representar tempo de diversas formas, ste, pode ser considerado linear, ramificado, circular, com começo, finito, discreto.

A partir dessas concepçdes princípios podem ser considerados válidos, ou nao. 9 A lógica temporal pode ser utilizada para modelagem de eventos discretos nas redes de Petri. Redes de Petri são modelagens matemáticas para sistemas distribuídos discretos. A lógica temporal pode ser utilizada associando proposições aos eventos ou estados, desse modo, o comportamento desejado é obtido através das fórmulas. 0 Lógicas Alternativas dos assim chamados “futuros contingentes”, mais precisamente, a questão de se o rincípio de bivalência implicaria o determinismo, então ocorrerá a inexistência do livre arbítrio. Consideramos os seguinte exemplo: João, no próximo natal, estará em Brasília. De acordo com o princípio da bivalência, esta proposição só pode ser verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, então João estará em Brasília no próximo natal, se falsa, ele não pode de jeito algum estar em Brasília no próximo natal.

Como estes são os únicos valores para esta proposição, o futuro de João está predeterminado e nada se pode fazer para mudá-lo. Lukasiewicz considerava este argumento como sendo álido, porém não gostava do determinismo que ele implicava, então ele atribuiu um terceiro valor a uma proposição, o l, sendo este indeterminado. Propondo como solução para o problema uma lógica trivalente, rejeitando tanto o princ[pio da bivalência quanto o do terceiro excluído. A ideia é ter, além de V e F, um terceiro valor, l, que poderia ser considerado como indeterminado.

Isto é, uma proposição com valor indeterminado, não é nem verdadeira e nem falsa, o que faz incompatível com princípio classlcos, como o pnncplo do terceiro excluído, já que admite sentenças que seriam onsideradas contraditórias na lógica Um exemplo dado pelo próprio Lukasiewicz é mostrado abaixo: “Eu posso supor sem contradição que a minha presença em Varsóvia num certo momento do tempo, e. g. ao meio-dia do dia 21 de dezembro, no momento presente anda não está decidida positiva ou negativamente. É por isso possível mas não necessário que eu es ainda não está decidida positiva ou negativamente. ? por isso possível mas não necessário que eu esteja presente em Varsóvia na altura referida. Nesta suposição a afirmação “Estarei presente em Varsóvia ao eio-dia do dia 21 de dezembro do próximo ano” não é verdadeira nem falsa no momento presente. Porque se fosse verdadeira no momento presente a minha futura presença em Varsóvia teria que ser necessária, o que contradiz a suposição e se fosse falsa no momento presente, a mlnha presença futura em Varsówa seria impossível, o que de novo contradiz a suposição.

A frase declarativa sob consideração não é, no momento presente, nem verdadeira nem falsa e tem que ter um terceiro valo, diferente de O, ou falso, e de 1, ou verdadeiro. Podemos indicá-lo por “1/2”, isto é, “o possível” que fará m terceiro valor juntamente com “o falso”e “o verdadeiro”. É esta linha de pensamento que dá origem a um sistema de três valores de lógica proposicional (CUNHA, 1980). Uma das fórmulas válidas que não se aplicam a esta lógica é a p v •p, pois quando p recebe o valor l, o valor de —p também seria l, eo valor de p V será l.

Como as fórmulas válidas têm valor V, então essa não é uma fórmula válida. Esta não é a única fórmula válida na lógica clássica que não é válida na lógica trivalente de Lukasiewicz. Figura 2 Matrizes para a lógica trivalente de Lukasiewicz No entanto, observando a Figura 2, temos que a PAGF fórmula como (a p ) (-. a v P) também não é válida nesta lógica de Lukasiewicz. Algo que permanece na lógica é a definição de a p como (a p ) A (a — P). Além disso, podemos definir v por meio de da seguinte maneira: (a P) .

Você pode conferir e verificar que essa fórmula é logicamente equivalente a a v p . Finalmente, podemos definir a A como -‘(-va v -‘P ). A única regra de inferência primitiva é modus ponens. É Interessante saber que não foi Lukasiewicz quem axiomatizou sua lóglca, mas sm M. Wajsberg em 1931. O conjunto de axiomas é o seguinte: ii) – ((a Lukasiewicz, além desta sua lógica, apresentou depois uma lógica tetravalente e de um modo geral, para cada número natural n, uma lógica n-valente.

Finalmente, ele introduziu uma lógica com infinito valores de verdade – uma lógica infinito- valente, onde cada número real do intervalo [O, 1] é um valor da lógica. As aplicações mais interessantes de lógicas polivalentes são na areá de computação, como por exemplo o tratamento da informação em condições de incerteza e de problemas de computabilidade e complexidade decorrentes destas aplicações. 3. 2 Lógica Intuicionista