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Colégio Serrano Guardia Alana Games de Lima, 02 3 EMA Professora: Ivaldete/ Disciplina: Matemática Guarulhos, 2010 índice Definição Pág. 03 Igualdade de números complexos Pág. 04 Adição e Subtração Multiplicação or6 to view nut*ge O conjugado e a divis Potências de i 0 caso da raiz quadr Pág. 08 Representação dos numeros complexos Módulo de número complexo Pág. 09 Conclusão Bibliografia Pág. IO Pág. 1 Vimos na resolução de uma equação do 20 grau que se o discriminante é negativo, ela não admite raízes reais. Por xemplo, a equação não admite raízes reais. Se usarmos os métodos que conhecemos para resolvê-la, obtemos considerado como um número complexo com parte imaginária 0. Os números complexos a + bi e c + di são iguais se suas partes reais são iguais e suas partes imaginárias são iguais, isto é: a + bi = c + di se Exemplos 2+5i- Se x e y são números reais ex+yi=7 – 4i, então x = 7 e y = – 4.

Adição (a + bi) + (c + di) (a + c) + (b + d)i I Para adicionarmos dois numeros complexos, adicionamos as partes reais e as partes imaginárias I Subtração a + bi) – (c + di) (a – c) + (b — d)i I Para subtrairmos dois números complexos, subtraímos as partes –4+12i Na prática, fazemos (3 + 4i) (-7 + 8i) – _ 9 + 81 Na prática fazemos (a + b’) . (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i complexos como multiplicamos binômios, usando i2 = 6- 8i + gi – 12i2 1 Distributiva -8i+9i Multiplicamos números e a – bi são chamados complexos conjugados.

Para um número complexo z, seu conjugado é representado com ; então, se z = a + bi escrevemos a – bi. O conjugado de z -2 3i é = 2 – 3i O conjugado de z = 2 -ié— O conjugado de z – 5i é = – 5i O conjugado de z – 10 é – 10 Quando multiplicamos um número complexo z = a + bi pelo seu conjugado — a – bi, o resultado que se obtém é um número real não negativo: z. = (a + bi) . (a – bi)l = a2 – + abi – b2i2 1 = a2 – b2 . (-1) | A soma dos quadrados de dois números reais nunca é negativa a2+b2 Usamos essa propriedade para expressar o quociente de dois números complexos na forma a + bi.

Dividindo dois números complexosPara escrevermos o quociente na forma A + Bi, multiplicamos o numerador e o denominador elo conjugado do denominador. I Exemplo Vamos escrever o quociente na forma a + bi. Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, para obter um número real no denominador. Temos: I i4 i2. i2 (1) 10=1 PAGF3rl(F6 Os números reais negativos também tem duas raizes quadradas. Por exemplo, 2i e – 2i são as raízes quadradas de – 4 porque (2i)2 = 22 . i2 202 = . i2 = . 2 De um modo mais geral, se r , O é um número real, o número real negativo – r, tem duas raízes quadradas, porque Chamamos i de raiz quadrada principal de – r, e usamos desenho para representá-la; a outra raiz quadrada – é representada com -a Note que as duas raízes quadradas são números complexos Imaginários puros, e que são conjugados. Raízes quadradas de números negativosSe – r ; 0, então as raizes quadradas de – r sãoie – iA raiz quadrada principal de – r é -i-5i Observação Devemos ter especial cuidado quando efetuamos operações envolvendo raízes quadradas de números negativos.

Quando a e b são positivos vale a propriedade Mas, quando ambos são negativos a propriedade não é verdadeira. Por exemplo, a definição dada permite-nos escrever Entretanto, se usarmos a propriedade temos Quando multiplicamos radicais de números negativos, devemos em primeiro lugar, escrevê-los na forma i, com ; O. Representação dos números complexos Um número complexo é constituido or duas componentes: a parte real e a parte imagin ere a utilização de dois plano. O módulo (ou valor absoluto) do número complexo a + bi é distância de a bi à origem do plano complexo.

Usando o Teorema de Pitágoras, concluímos que a distância de (a; b) a (O; O) DefiniçãoO módulo (ou valor absoluto) do complexo z a + bi é I O módulo do número complexo -3 + 4i é 1-3+4il- –=5 O módulo do número complexo 7 + 4i é http://vwvv. 10emtudo. com. br/demo/matematica/numeros _complexos/index_l . html http://www. 10emtudocom. br/demo/matematica/numeros _complexos/index_2. html http://www. 10emtudo-com. br/demo/matematica/numeros _complexos/index_3. html http://www. 10emtudo. com. br/demo/matematica/numeros _complexos/index_4. html _complexos/index_5. html _ complexos/index_6. html _complexos/index_7. html