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Introdução S Etapa 36 Passo 16 passo 28 Passo 311 Etapa 413 Etapa 516 passo 1 16 passo 217 Passo 318 Passo 418 Etapa 6 19 Referências Bibliogr • INTRODUÇAO Este trabalho é uma I 0 Swipe to page ra Linear, Etapas 3, 4, 5 e 6, nele estaremos abordando os temas Sistemas de Equações Lineares, Regra de Cramer e Gauss-Jordan. Etapa 3 Passo 1 Sistemas de Equações lineares Equações lineares – definição Chamamos de equação linear, nas incógnitas XI , X2, , Xn, toda equação do tipo All XI + A 12 X2 + A13X3+.. AIN XN — b. Os números Al 1, A12, A13, Al n, todos reais, são chamados oeficientes e b, também real, é termo independente da (Sentença verdadeira) 3 . (-5) – 1 1 + 0 4 (Sentença falsa) Um sistema compatível pode ser determinado ou indeterminado: Determinado: Quando o sistema admite uma única solução. Indeterminado: Quando o sistema admite mais de uma solução. 2) Sistema Incompatível Se um sistema linear S não tiver nenhuma solução, diremos que S é impossível ou incompatfi. ‘el. EX. Não admite solução, pois a última equação não é satisfeita por nenhuma tripla (al 3) Sistemas Equivalentes Diz-se que dois sistemas de equações lineares são equivalentes uando admitem a mesma solução. 3X+6y=422x-4y-12 São equivalentes porque admitem a mesma solução: x: 10 passo 2 Solução de equação linear Dizemos que a sequêncla ou ênupula ordenada de números reais É uma solução da equação linear AIIXI +A12X2+A13X3 SE Aliai *A12 qualquer tripla ordenada (al ,a2,cB) é solução da equação. ) Seja a equação linear ox+0Y+OZ+0t=2 É fácil observar que qualquer quádrupla ordenada (al não satisfaz a equação , pois oal + 002 + 003 + 004-2 É sentença falsa Solução de um sistema linear Dizemos que uma sequência ou ênupla ordenada de reais , an ) é solução de um sistema linear S, se for ( al solução de todas equações de S, isto é: SAI lal+A21a1+ A13(B+ A23a3+ . Amnan-bl … Amlal+ A12a2+ A22a2+ . ……. Am2a2 … Am3a3+ … + … + .. + Al nanA2nan……. Todas as sentenças a cima são verdadeiras.

Exemplos: 1) O sistema Admite como solução a tripla ordenada (1 pois 1 + 2 + (Sentença verdadeira) 2. 1+2 3-1 3. 1 -2+3=4 (Sentença verdadeira) S não admite, porém como solução a tripla ( -5, 11, O), pois -5 + 11 +0=6 (Sentença verdadeira) 2 (-5) + 1 1 – O – 1 (Sentença verdadeira) 3. (-5 ) — 11 +0=4 (Sentença falsa) ) O sistema linear S Ox+Oy+Oz—6 Não admite solução, pois ao não é satisfeita por 3) SIX+Y +z=0 2x-Y+z=O S23X+4Y+z+1 4x- z+t=o Esse exemplo é um sistema linear homogêneo, onde esse tipo de sistema admite sempre como solução a sequência (al Nos exemplo a cima temos: ( é solução de SI. o,o,o,o) é solução de S2. Passo 3 Qualquer sistema linear pode ser classlficado quanto ao número de soluções Podemos classificar os sistemas lineares da seguinte forma: SPD – Sistema Possível e Determinado SPI – Sistema Possível e Indeterminado SI – Sistema Impossível Sistema possível e Determinado Dado o par ordenado (2, 3) e o sistema a seguir. x+y-5 4x-2y=2 Podemos dizer que o par ordenado (2, 3) é a única solução do sistema, por isso o classificamos como SPD. Sistema Possível e Indeterminado SPI é um sistema que possui infinitas soluções.

Observe: x-v+z=2 incógnitas xl Chama-se matriz ampliada do sistema ao quadro de números Al IA21 …………. Am I A12A22……… Am2. : . ….. ,…. ‘AI nA2n……. ali a12 aln blau a22 a2j … a2n . ail ai2 aij . bi. aml am2 … amj bm Matriz dos coeficientes das variáveis Seja o sistema linear aln .. amn Al IXI *A21X1+ . . A12X2+ A22X2+ …….. AT12X2+ A13X3+ A23X3+ AmnXn=b1 =b2… …. =bm …… Am3X3 Matriz dos coeficientes Amn Etapa 4 Equação das malhas . Al nXnA2nXn. „.. A diferença de potencial entre A e B é dada pela fórmula: A segunda lei de Kirchhoff é relativa a uma malha.

Considerando a malha ABC, e percorramos os lados dessa malha todos num mesmo sentido, aplicando a equação anterior sucessivamente a cada lado. Consideremos o sentido horário. Seja a f. e. m. resultante em AB, a resistência elétrica resultante em AB, e a intensidade da corrente em AB; , e os elementos orrespondentes em BC; , e os de AC. Temos: malha num mesmo sentido, a soma algébrica de todas as f. e. m. da malha é igual à soma dos produtos das resistências pelas intensidades de corrente”. Da própria maneira de deduzlrmos esta segunda lei de Kirchhoff, resultam os sinais seguintes. . Sinal dos produtos R Atribuímos arbitrariamente os sentidos das correntes , , . Depois atribuímos arbitrariamente o sentido de percurso da malha. No trecho em que o sentido atribuído à corrente coincide com o sentido de percurso da malha o produto RI é positivo. Caso contrário, o produto RI é negativo. . Sinal de E Nos lados da malha em que o sentido de percurso coincide com o sentido atribuído à corrente, as f. e. m. são positivas e as f. c. e. m. são negativas. Caso contrário as f. e. m. passam a funcionar como f. c. e. m. , e serão negativas; e as f. c. e. . passam a funcionar como f. e. m. e serão positivas. Observação As leis de Kirchhoff não podem ser aplicadas um número qualquer de vezes, porque senão encontramos uma série de equações que não serão independentes entre si. para aplicação dessas leis é conveniente observar as seguintes regras: a) Começar aplicando a 1a lei. Quando há n nós, aplicamos a 1a lei vezes, e obtemos equações independentes entre si. 2a) Havendo a incógnitas, precisamos ter um total de as equações. Como já obtivemos equações aplicando a 1a lei, devemos aplicar a 2a lei vezes.

Exemplo: No circuito abaixo, as intensidades das correntes elétricas il, i2 e iy em amperes, valem, respectivamente: abaixo, as intensidades das correntes elétricas il, i2 e iy em amperes, valem, respectivamente: Leis de Kirchhoff: 10 ii + = i3 20 soma das malhas é nula: (I) 2i1+ 14 – 3i2 – 10-0 (11)-7+ 5i3 + 14=0 istema: 2i1 -3i2 = -4 3i2 + 5i3 21 resolvendo, obtemos: i2 -2 A Etapa 5 passo 1 A regra de Cramer é uma das maneiras de ser resolver um sistema linear, porém só poderá ser aplicado se caso a resolução do sistema em que o número de equações e o número de incógnitas forem iguais.

Exemplo 1 ox=3 3 -22 -1 14 3 212 -1 15 3 -22 12 14 6 3 -5-0 24 -5 = DX = 120 Dy=48 Dx 120/24 – 5 = 48/24 = 2 32 -1 124 122 -1 -16 Tem que copiar as duas primeiras colunas para o lado de fora e depois colocar = 60 36/12 -3 DY = 48/12 -4 Dz 60/12-5 2x+y 2 sx-y=l 2 15 -1 –2+52+3 2x-y+z=3x+y 16 II 31 11 6 -Dx-5 11 5 2- 61 10/5 -2 15/5=3 passo 4 Etapa 6 Sistemas equivalentes: Reconhecemos um sistem -1 5 = Dz- 15 pela caracteristica de equivalente para desenvoltura do problema: 10 Exemplo 3x+5y=16 x-y= 8 Assoclamos a matriz : 351-1 168 A principio devemos igualar o primeiro elemento ao numero 1, para isso dividiremos os elementos dessa linha por 3 351 1 168 Obteremos . 1531-1 1638 LI. /3 O próximo passo é fabricar zeros abaixo do primeiro elemeno (1), para isso multiplicaremos a segunda linha por -1 1 53083 163-83 Obteremos: Percebe-se que não há mais linhas nem colunas da esquerda para ireita a fim de fabricarmos zeros abaixo das mesmas . Devemos agora fabricar zeros acima dos elementos principais começando da ultima coluna da direita para a esquerda • 15301 163-1 L2. 38 LIZ L2. -53+ LI Obtemos um sistema Equivalente 1 woy=7 ox+ly- – 20Exemplo: Trabalharemos agora com s associando o sistema LI 1123200-404 04-12-20 INVERTEMOS L2 EL3 1123204000 -4 4-20-12 L2. 14 1123201000-4 4-5-12 L3. -14 123201000 1 4-53 LI-‘L2.. 12 LI 103201000 1 132-53 Ll=L3 . 32+Ll 10001000 1 2-53 Desafio O circuito misto apresentado no ATPS apresenta 3 malhas , que esenvolvidas pelas leis de Kirchhoff resultarão nos seguintes resultados associados á matriz -2-48-210-410-2-2 1004 Agora desenvolveremos pelo método de Gauss Jordan -2-48-210-410-2-2 1004 LI . -12 12-4-210-41 0-2-2-504 L2. 12+L1 12-407-510-2-2-504 L3. – 110+Ll 12-407-6022103810-504610 n. 17 12-401-67022103810-504610 L3. – 1022 12 2-40 0-40 000 1-670 0-13377-502311 L3. – -77133 1-670 01-50253209 13. 67+L2 100 01-50138133 L2. -2+L1 100 01-50138133 L3. 4+Ll 100 01-5271330138133 Sendo assim x–527133 = -3. 96 z-138133 – 1. 03 II —-3. 96 Amperes PAGF 10