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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS E APLICAÇÕES Ana Maria S. Luz (anamluz@uol. com. br bolsista PIBIC/CNPQ) e Prof. Dr. Francisco Júlio Sobreira de Araújo Corrêa (fjulio@ufpa. br – orientador), Departamento de Matemática, CCEN UFPA Resumo. Daremos inicialmente uma breve introdução sobre a teoria das equações diferenciais. Apresentaremos algumas noções preliminares ao estudo da teoria qualitativa das equações diferenciais ordinárias. Faremos um estudo das equações diferenciais ordinária e destas em outras ciências.

Desenvolve equações diferencial o view nut*ge Igumas aplicações estudo das ordinárias de segunda ordem e dos sistemas de equações diferenclais, utilizando o conteúdo discutido em aplicações da Física e da Biologia. Introdução. A Teoria das Equações Diferenciais é objeto de intensa atividade de pesquisa pois apresenta aspectos puramente matemáticos e uma multiplicidade de aplicações, além de apresentar diversas ramificações, neste texto abordaremos especificamente as equações diferenciais ordinárias (equações que só apresentam derivadas ordinárias — em relação a uma variável).

Exemplo de Equações Diferenciais Ordinárias: dR(t ) – – kR(t ) dt d2X Equação que governa o decaimento de uma substância radioativa com o tempo R(t), onde k é uma constante conhecida Será feito o estudo e análise critica de diversas aplicações das equações diferenciais Ordinárias oriundas da mecânica, química, biologia, etc. assim como o seu estudo qualitativo, em que se toma a atitude de retirar das equações informações sobre o comportamento de suas soluções, sem aquela preocupação de escrevê-las explicitamente, tal estudo se justifica pelo fato de que o número de equações que odem ser resolvidas em termos de funções elementares, sem a utilização de métodos numéricos, é pequeno. Esse estudo qual tativo das soluções é característico da fase moderna da teoria das equações diferenciais ordinárias, que se define com Poincaré no final no século XIX.

Não devemos perder de vista que a teoria qualitativa PAGF70F11 soluções estão de acordo com o problema que motivou o modelo. Noções Preliminares. Apresentaremos aqu alguns resultados de grande importância pra o desenvolvimento deste artigo. Teorema 1 (Existência e Unicidade) Seja f: — uma funçao ontinua definida num aberto Q do plano (x,y). Suponhamos que a derivada parcial com relação à segunda variável, fy:n— , seja contínua também.

Então, para cada (xo , yo) e Q, existem um intervalo aberto contendo xo e uma única função diferenciável Ç I — DI com (x, Ç)) E , para todo x l, que é solução do problema de valor inicial (P. V. I) (x Para a demonstração de tal resultado nós utilizamos o Teorema do Ponto Fixo de Banach, conhecido também como o Princípio da Contração: “Seja C um espaço métrico completo. Suponha que C é uma contração, isto é, xiste uma constante O s k , tal que Revista Virtual de Iniciação Acadêmica da UFPA http://www. fpa. br/revistaic Vol 1, No 1, março 2001 Página 1 de 10 d (O (g 1 ) O (g 2 ) skd (g 1 2 PAGF30F11 ser estendidos para sistemas de equações diferenciais ordinárias, desenvolvemos os tópicos a seguir. Equações Diferenciais Ordinárias de prmeira Ordem. A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que aparece na equação. Apresentamos a seguir a forma geral de uma equaçao diferencial de primeira ordem: Também podemos escrevê-la da seguinte forma: dy dx

Se a função f das equações (5) e (6) depender linearmente da variável dependente y, então a equação pode ser escrita na forma: e é chamada de equação diferencial linear de primeira ordem. A equação (7) com é chamada de equação linear homogênea. A solução do P. V. I homogêneo com PAGFd0F11 derivada da função y em relação à variável independente x, são chamadas de separáveis. Utilizando o conteúdo desenvolvido até esse ponto para equações diferenciais ordinárias de primeira ordem analisaremos as seguintes aplicaçoes: Crescimento de tumores.

Tem sido observado xperimentalmente que microorganismos que se reproduzem de forma a ocorrer a ” sua duplicação”(” mitose” como as bactérias, tem sua taxa de crescimento proporcional ao volume de células divididas em um dado momento. Denotando por V(t) o volume de células divididas no tempo t. Então, para alguma constante positiva À A solução é onde Vo é o volume de células divididas no tempo inicial to.

Então o volume de células divididas cresce exponencialmente com o tempo, ou seja V(t)— quando t — , o que e http://www. ufpa. br/revist março 2001 vários tumores sólidos e dada pela equação 10) – exp a t)C] onde Àe a são constantes positivas. A equação (10) é conhecida como uma relação de Gompertizian. A análise desta equação nos informa que o tumor cresce mais e mais lentamente com o passar do tempo e que o limite do volume de células divididas é aproximadamente: Voe a . Modelo de epidemia.

Analisaremos um modelo simplificado para propagação de uma doença. Na construção do modelo que analisaremos, foram feitas as seguintes hipóteses: 1) Uma fração x de uma determinada população tem uma doença infecciosa, então uma fração S= (1-x) não a tem. 2) Os membros esta população podem encontra-se livremente (ao acaso). 3) A taxa de aumento de x é proporcional a x e S. Em consequência destas hipóteses, temos que o modelo é dado pela equação que apresenta x— 1 , quando t — .

Isto quer dizer que mais cedo ou mais tarde cada pessoa vai contrair a doença, não uimportando quantas pessoas estavam infectadas inicilamente, a menos que a condição inicial xo seja igual a O (zero), pois neste caso teríamos para todo t. Felizmente, este modelo é deveras simplificado, e não leva em consideração, por exemplo, a possibilidade de que as pessoas infectadas possam er isoladas ou que se recuperem da doença ficando sadas.

Revista Virtual de Iniciação Acadêmica da IJFPA Página 3 de 10 Equações Diferenciais ordinárias de Segunda Ordem. Uma Equação Diferencial de Segunda Ordem tem a forma d2y (11) Dizemos que a equação (11) é linear quando a função f é linear em y e em suas derivadas, isto é qua funções contínuas em (a,b) então o problema de valor inicial (13)-(14) tem uma e somente uma solução definida em todo o intervalo Quando na equação (13) g 0 temos a equação homôgenea (15) A respeito das soluções da equação homogenea temos o eguinte teorema.

Teorema 3 (Princípio da Superposição): Se 1 e C] 2 forem duas soluções da equação diferencial (15) então qualquer função da forma (16) onde al e a 2 são constantes arbitrárias é a solução da equação diferenclal (15). Definição Duas funções 1 2 : (a, b são linearmente dependentes (L.

D) se existe uma constante k tal que (b 2 1 (x) V x E (a, b) Duas funções 1 2 : (a, b ) — são Ilnearmente Independentes zero, então o Wronskiano será diferente de zero em qualquer outro ponto no intervalo (a,b) e as soluções serão linearmente independentes no intervalo. Teorema 5: Sejam IV IV 2 . (a, b duas soluções LI de (15). Então qualquer solução de (15) é da forma $=a111J1+a211) (18) com a 1 e 02 constantes escolhidas convenientemente.

Página 4 de 10 Pode-se concluir destes resultados que o espaço das soluções das equações diferenciais de segunda ordem lineares homogêneas tem dimensão 2. Os dois resultados seguintes descrevem a estrutura das soluções das equações não homogêneas (equações da forma da equação (13)) e proporcionam a base para a construção da sua solução geral. Teorema 6: Se YI (x) e y2(x) forem duas soluções da equação não omogênea (1 3), então a diferença y1(x)-y2(x) é solução da equação homogênea correspondente (15).

Se além disso 1 e 2 constituírem um conjunto fundamental de soluções (isto é constituem a base do esp es) da equação (13) PAGF 11 onde 1 e 2 constituem um conjunto fundamental de soluções (isto é, constituem a base do espaço das soluções) da equação homogênea correspondente e al e a2 são constantes arbitrárias e yp é uma solução particular da equação não homogênea Para a obtenção da solução particular pode-se utilizar o método da variação os parâmetros assim como o método de redução da ordem da equação diferencial, método dos coeficientes a determinar e o método pra obtenção de soluções de equações dlferenciais ordinárias com coeficientes constantes. Todos estes métodos podem ser encontrados na bibliografia deste artigo. ordinárias de segunda ordem analisaremos a seguintes aplicação: Oscilador Harmônico. O oscilador harmônico é o modelo matemático para o movimento retilineo de uma particula sujeita a uma força atratora para a origem e com magnitude igual a um múltiplo k (constante positiva) da distância a orgem: -ku ku